Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý Bézout và chiều ngược lại

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu vấn đề các giao điểm của hai đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể là về số giao điểm, số bội giao. Trọng tâm của luận văn là Định lý Bezout và chiều ngược lại.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý Bézout và chiều ngược lại ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- Phạm Kế Quang ĐỊNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIỀU NGƯỢC LẠIChuyên ngành: Hình học và tôpôMã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: TS.Phó Đức Tài Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới thầy Phó Đức Tài người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luậnvăn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nộiđã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2015 Học viên Phạm Kế Quang 1 Mục lụcChương 1. Đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.Đường cong phức trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Không gian xạ ảnh phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Chương 2. Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Chương 3. Chiều ngược lại của định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.Bội giao của hai đường cong tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.Một số trường hợp riêng của bài toán ngược lại . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.Chiều ngược lại cho một số trường hợp cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.1. Hai đường cong bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.2. Một đường cong bậc hai và một đường cong bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.3. Hai đường cong bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 LỜI MỞ ĐẦU Hình học đại số là một chuyên ngành của toán học sử dụng công cụ đại số đểnghiên cứu các bài toán hình học. Đối tượng chính là những đường cong, mặt cong,hay tổng quát là các siêu mặt đại số, chúng được định nghĩa bởi các đa thức. Tronghình học đại số, lý thuyết giao nghiên cứu phần giao của hai hay nhiều siêu mặt đạisố. Tìm phần giao của hai siêu mặt đại số tương đương với việc giải hệ phương trìnhgồm hai phương trình đa thức. Khởi đầu bởi một định lý rất cổ điển, đó là định lýBézout (1779) phát biểu rằng tổng số giao điểm (đếm cả bội) của hai đường cong xạảnh phức bằng tích của hai bậc. Số bội này về sau được cụ thể hóa bằng khái niệmsố bội giao (hay nói gọn hơn, bội giao). Trường hợp riêng của định lý Bézout đối vớihai đường cong y = f (x) (với f (x) là một đa thức bậc m) và y = 0 (đa thức bậc 1)chính là Định lý cơ bản của Đại số học. Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu vấn đề các giao điểm của hai đườngcong trong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể là về số giao điểm, số bội giao. Trọng tâmcủa luận văn là Định lý Bezout và chiều ngược lại: Cho trước hai số nguyên dương m vàn. Với một bộ k số nguyên dương bất kì [s1 , s2 , . . . , sk ] sao cho s1 +s2 +· · ·+sk = m·n.,liệu có tồn tại hay không hai đường cong xạ ảnh bậc m và n trong P2 sao cho chúnggiao nhau tại k điểm với số bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk . Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương: • Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về lý thuyết đường cong đại số trong C2 và trong không gian xạ ảnh phức P2 . • Chương 2 tìm hiểu về kết thức, bội giao, các tính chất của kết thức và sử dụng những tính chất đó để chứng minh định lý Bézout. • Chương 3 tìm hiểu chiều ngược lại của định lý Bézout. Chứng minh một số trường hợp riêng cho chiều ngược lại (mục 3.2), đưa ra một số ví dụ minh họa (cụ thể là các trường hợp của hai đường cong bậc hai và đường cong bậc hai với đường cong bậc ba được trình bày chi tiết trong mục 3.3). Luận văn này là một nghiên cứu tiếp nối của khóa luận đại học của học viên. Sovới khóa luận đại học, chúng tôi có một số kết quả mới, bao gồm các mệnh đề 3.1.1,3.2.2, 3.2.3 và 3.2.4. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làmluận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Chúng tôi mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến ph ...