Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Động học của phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov

Luận văn được chia làm 3 chương: Chương I - Các kiến thức chuẩn bị, Chương II - Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu Markov, Chương III - Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Động học của phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNHKOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOVChuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán họcMã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2012Mục lục1 Kiến thức chuẩn bị. 5 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục. . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Quá trình Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov. . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục. . . . . . . . . . 11 1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo. 14 2.1 Tính bền vững của hệ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Tập ω- giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định. . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. . . . . . . . 23 2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. . . . . . 24 2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Ứng dụng. 33 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục . . . . . 35 3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và (3.3) song ổn định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên. . . . . . . . 39Kết luận 41Tài liệu tham khảo 43 iLời nói đầu. Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai loài,người ta thường mô tả chúng bằng mô hình toán học dưới dạng các hệ phương trình vi phân: x˙ = x f (x, y) , y˙ = yg (x, y) , (1)trong đó x(t) và y(t) là mật độ quần thể của từng loài tại thời điểm t và f (x, y) , g (x, y) là tốcđộ tăng trưởng bình quân của từng loài. Thông thường, các hệ như vậy được gọi là các hệKolmogorov. Các hệ kiểu Kolmogorov là các mô hình thông dụng nhất để mô tả sự phát triển củaquần thể trong một hệ mà tốc độ tăng trưởng bình quân của mỗi loài phụ thuộc vào quy môquần thể của cả hai loài. Mô hình kiểu Kolmogorov quan trọng vì mỗi quỹ đạo xuất pháttrong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì luôn nằm trong mặt phẳng này (tức là nếux (0) > 0, y (0) > 0) thì x (t) > 0, y (t) > 0) với mọi t > 0). Nói cách khác miền trong của gócphần tư thứ nhất của mặt phẳng là bất biến đối với hệ (1). Đã có rất nhiều công trình nghiêncứu về động lực học quần thể thông qua nghiên cứu các nghiệm dương, chẳng hạn như là tínhbền vững đều, sự diệt vong hay và sự giới nội ở kết cục (xem [10, 13, 20, 11]). Cách mô tả hệ theo các phương trình trên đều dựa vào giả thiết các loài sống trong mộtmôi trường không thay đổi. Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) là các hàm tất định.Tuy nhiên, rõ ràng rằng điều đó nói chung không phù hợp trong thực tế bởi vì chúng ta phảitính đến sự các biến động của môi trường mà có thể gây những tác động mạnh đến tính độnglực học cũng như sự phát triển bền vững của quần thể. Sự biến đổi của môi trường có thểđược thể hiện như là các yếu tố ngẫu nhiên và điều quan trọng là chúng ta phải mô tả chúng ởdạng phương trình ngẫu nhiên. Tuy vậy, trong khi hệ Kolmogorov tất định (1) đã được nghiêncứu với một lịch sử lâu dài thì hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập ...