Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng

Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học,... Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân Volterra. Trong luận văn này chỉ xét phương trình tích phân Fredholm; nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- ĐÀO THỊ THANH GIẢI MỘT SỐPHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014Mục lụcMỞ ĐẦU 21 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến . . . 92 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT 14 2.1 Phương pháp thế liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Các định lý Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Cấu trúc của nhân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN 34 3.1 Một số tính chất của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Các giá trị riêng của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Các hàm riêng của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Định lý Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1MỞ ĐẦU Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu cácbài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học, · · · . Hailoại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vàođầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phânVolterra. Trong luận văn này ta chỉ xét phương trình tích phân Fredholm. Ta sẽnghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai vàchỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp. Luận văn được chia thành ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp cơ sở lý thuyết chohai chương sau, bao gồm định nghĩa về phương trình tích phân và phân loại cácdạng phương trình tích phân. Sau đó là một số tính chất và kí hiệu liên quanđến phương trình tích phân Fredholm loại hai. Thứ ba là định lý Fredholm trongtrường hợp nhân có dạng tách biến. Chương 2. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhântổng quát. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phânFredholm loại hai, đưa ra một số phương pháp giải là phương pháp thế liên tiếp,phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một số ví dụ minh họa. Sau đó ta sẽ kết hợp cảhai phương pháp này để chứng minh định lý Fredholm trong trường hợp nhântổng quát và đi xây dựng toán tử giải của nó. Chương 3. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhânHermitian. Chương này đưa ra khái niệm hạt Hermitian, một số tính chất củahạt nhân và toán tử Hermitian. Sau đó chứng minh định lý Hilbert-Schmidt vàđưa ra công thức nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhânHermitian. Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo[9]. 2Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắccủa TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giảiđáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã thamgia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công laodạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình. Hà Nội, tháng 03 năm 2014 Tác giả luận văn Đào Thị Thanh 3Chương 1KIẾN THỨC ...