Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp |a+d|>=2

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu. Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại biến đổi chính tắc tuyến tính và các trường hợp biến đổi đặc biệt của biến đổi này, hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ, một số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của LCT. Cuối cùng trình bày hai tính chất quan trọng sẽ được dùng trong suốt luận văn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp |a+d|>=2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- TĂNG THỊ ĐỨC HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮCTUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| > 2 Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2016Mục lục 1Lời nói đầu Toán học giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọnghàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi ngườiquan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất nhiềuứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dươnghọc, hình học và nhiều lĩnh khác. Ngày nay các nhà khoa học vẫn đang cố gắngkhám phá ra những kết quả có tầm quan trọng nhằm nâng cao được ứng dụngcủa nó. Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về trường hợp đặc biệt biến đổi tíchphân Fourier và ứng dụng của nó trong quang học. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mụctài liệu. Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại biến đổi chính tắctuyến tính và các trường hợp biến đổi đặc biệt của biến đổi này, hàm riêng củabiến đổi Fourier phân thứ, một số kết quả đẫ được xây dựng về các hàm riêngcủa LCT. Cuối cùng ta trình bày hai tính chất quan trọng sẽ được dùng trongsuốt luận văn. Chương hai, phần đầu ta trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp|a + d| = 2. Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi a + d = 2và b = 0; a + d = −2 và b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = 2 và b 6= 0;a + d = −2 và b 6= 0. Phần hai, ta trình bày hàm riêng của LCT trong trườnghợp |a + d| > 2. Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi{a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ}; a + d > 2; a + d < −2. Trong chương cuối ta trình bày quan hệ của LCT với hệ quang học và giảiquyết bài toán tạo ảnh . Các kết quả chính của luận văn dựa trên bài báo Eigenfuntions of linear 3canonical transform Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding. Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫntận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúpđỡ tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học mộtcách tốt đẹp. Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô phòngSau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục bảovệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã có những góp ý hữuích để tôi hoàn thành luận văn tốt nhất. Cuối cùng, tôi xin gửi lời biêt ơn tớigia đình, người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tậpvà hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tăng Thị Đức 4Chương 1Kiến thức chuẩn bị Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT)[1]-[4] là biến đổi tích phân với bốntham số {a, b, c, d}. Biến đổi LCT được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1970 [5],[6]. Một số phép toán như, biến đổi Fourier (Fourier transform-FT), biến đổiFourier phân thứ (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], biến đổi Fresnel[10] và phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT. Trong một số bàibáo, phép biến đổi LCT được gọi là phép biến đổi Fourier afin (affine Fouriertransform-AFT) [2],[11], biến đổi Fresnel tổng quát [12], công thức Collins [6],biến đổi ABCD [3] (ABCD transform), hoặc biến đổi Fourier và biến đổi Fresnel.Phép biến đổi LCT được ứng dụng trong phân tích hệ rada, phân tích hệ môitrường Grin, thiết kế máy lọc và nhiều ứng dụng khác. Ta xét một số trường hợp đặc biệt của LCT. Ví dụ, hàm riêng của FRFT làhàm Hermite được nhân thêm với exp(−t2 /2). Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} ={1, b, 0, 1} (trường hợp này LCT trở thành biến đổi Fresnel) là hàm tuần hoàn(hàm tuần hoàn này gọi là hiệu ứng Talbot[16],[17]). Trong trường hợp {a, b, c, d} ={1/d, 0, 0, 1} (trong trường hợp này LCT trở thành phép toán co giãn) hàm riênglà hàm Frac [18],[19] (fractal). Những hàm này bất biến với phép toán co giãn. Trong luận văn này ta sẽ tổng quát các kết quả đã được xây đựng và suy rahàm riêng của LCT cho tất cả các trường hợp. Sau đó, hàm riêng của LCT đượcsử dụng để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học. Ta sử dụng ký hiệu OF (a,b,c,d) hoặc OF(a,b,c,d) cho biến đổi chính t ...