Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Đề tài nghiên với mông muốn nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất. Với khả năng và thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert và thác triển của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢCMỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾTTOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢCMỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾTTOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNHChuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán họcMã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2015Lời nói đầu Nhà toán học Pierre-Simon Laplace năm 1812 đã từng nói về vai trò của mônlý thuyết xác suất: Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các tròchơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người.Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ là những bài toáncủa lý thuyết xác suất. Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính là một chuyên đề khá mới của môn Lý thuyếtxác suất, nghiên cứu về các hàm ngẫu nhiên tuyến tính. Do đó, tôi đã chọn đề tàiMột số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính để làm đềtài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn nắmbắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra nhữngkết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phươngpháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất. Với khả năngvà thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyếntính trên không gian Hilbert và thác triển của nó. Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách các ký hiệu, 3 chương (chương1-2-3), tài liệu tham khảo. Nội dung chính của các chương được tóm tắt như sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương này, tác giảnêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên, sựhội tụ của biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính và toán tử Hilbert- Schmidt. Đây là các kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiêntuyến tính ở các chương sau. Chương 2: Trình bày về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian 1Hilbert. Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Chương này được chia làmba phần: Phần đầu nói về các khái niệm cơ bản liên quan đến toán tử ngẫu nhiêntuyến tính như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu,toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn và tích các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính.Phần hai nghiên cứu về hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tửngẫu nhiên tuyến tính Gauss. Phần cuối, nghiên cứu về tính hội tụ của toán tử ngẫunhiên tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu về thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chươngnày được chia làm hai phần: Phần đầu nêu những thác triển liên quan đến toán tửngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Phần hai trình bày một cách chi tiết một phươngpháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫnkhoa học của mình là GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng. Người đã đưa ra đề tài vàhướng dẫn tận tình giúp tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trườngĐại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn quan tâm và tạo nhiềuđiều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên cao học khác trong quá trình họctập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên tôi hoànthành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2015 Học viên Vũ Danh Được 2Mục lụcLời nói đầu 1Danh sách các ký hiệu 51 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . ...