Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic

Luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của toán học giải tích, đưa ra được khái niệm về tập hợp nón thứ tự, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp xấp xỉ liên tiếp và có một số ví dụ minh họa áp dụng vào phương trình vi phân. Từ đó đi vào trình bày về phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu của bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic, trình bày được một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới vào các bài toán biên Elliptic nửa tuyến tính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Bùi Thị Oanh PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚIGIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI - 2014Mục lụcMở đầu 31 Cơ sở toán học 6 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Khái niệm về không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian H01 (Ω) và H −1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . 9 1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Toán tử −∆ của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 Các tính chất của toán tử −∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong không gian Banach 16 2.1 Tập hợp nón thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phép xấp xỉ liên tiếp . 19 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirich- let nửa tuyến tính đối với toán tử Laplace 27 3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu . . . . . . . . . . 33 3.3 Một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới vào các bài toán biên Elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 40Kết luận 49 1Tài liệu tham khảo 50 2Mở đầu Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và nghiên cứu về: Phương phápnghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic.Nguyên tắc của phương pháp này dựa vào nguyên lý cực đại của nghiệm củaphương trình elliptic. Bản luận văn này gồm ba chương trong đó gồm phần kiếnthức cơ bản và hai chương chính:Chương 1. Cơ sở toán học Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Đó là:- Không gian Sobolev- Toán tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai- Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyênlý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, toán tử −∆ và các tính chất của toántử −∆- Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trìnhelliptic nửa tuyến tính.Chương 2. Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong khônggian Banach Ở chương này, luận văn đi vào trình bày khái niệm về tập hợp nón thứ tự, từđó dẫn đến phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp xấp xỉ liêntiếp. Thông qua đó tác giả luận văn đã có một số ví dụ minh họa áp dụng vàophương trình vi phân để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phânnửa tuyến tính.Chương 3. Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirichlet nửatuyến tính đối với toán tử Laplace Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm dưới và nghiệmtrên yếu, nghiệm dưới yếu. Trong chương này chúng tôi giới thiệu khái niệm 3nghiệm trên nghiệm dưới của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace,chứng minh định lý cơ bản của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới. Và đãđưa ra được một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm trênnghiệm dưới vào các bài toán biên elliptic nửa tuyến tính. Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoahọc nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quátrình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận đượcsự góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 4Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSHoàng Quốc Toàn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HàNội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quátrình học tập và làm luận văn. ...