Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert

Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên trong khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ toán học, trong bản luận văn này tác giả sử dụng hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lyapunov và phương pháp nửa nhóm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THANH TUYẾT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh 10 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . 10 1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . 13 2 Sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 15 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương trình vi phân có dạng đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Các định lý về J-ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . 29 1 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh và bài toán ứng dụng 49 3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Mô hình chung của bài toán dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Mô hình cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận 58 2 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP là lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918). Dù đã trải qua thời gian dài nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng thời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, ... Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên trong khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ toán học, trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lyapunov và phương pháp nửa nhóm. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm và nửa nhóm toán tử tuyến tính trong không gian Banach sẽ sử dụng trong các chương sau. Chương 2: Trình bày các khái nệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov và xấp xỉ thứ nhất. Đồng thời thông qua việc xét lớp các hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt (dạng tựa tam giác) chúng tôi đưa ra khái niệm ổn định từng phần (J ổn 3 định) cho hệ vô hạn các phương trình vi phân và xác lập mối quan hệ giữa tính ổn định theo Lyapunov và J -ổn định. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho một số hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng đơn giản. Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình tiến hóa đặt chỉnh và sử dụng phương pháp nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục mạnh trong không gian Banach để nghiên cứu bài toán ứng dụng trong mô hình dân số phụ thuộc tuổi. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS. TS. Đặng Đình Châu, người thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc. ...