Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo luận văn "Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa" sau đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG VĂN LUẬN THẾ VỊ LỚP ĐƠNVÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - NĂM 2015Mục lục Mở đầu 21 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mặt Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 232 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa 28 2.1 Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 1Mở đầu Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệtlà trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace làcần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trongnhững phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệmcủa phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Cấu trúc luậnvăn gồm 2 chương:Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm vàcác tính chất bao gồm: định nghĩa về góc khối; định nghĩa về mặt Lyapunov vàcác tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan; định nghĩavề phương trình tích phân Fredholm loại II, các định lý Fredholm và cuối cùnglà trình bày về các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm củabài toán đó.Chương 2: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann cho hàm điều hòa. Nộidung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann chohàm điều hòa, gồm 3 bước: Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp đơn và tínhchất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Neumann của phương trình Laplacevề phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi khảo sát sự tồn tạinghiệm của bài toán đó. Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo[1],[2], [3]. Hà Nội, tháng 4 năm 2015. Học viên Hoàng Văn Luận 2Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. HàTiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướngdẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luậnvăn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy củamình. Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhậngiảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham giagiảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạydỗ trong suốt thời gian của khóa học. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Caohọc Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúpđỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóahọc này. 3Chương 1Kiến thức chuẩn bị1.1 Góc khối Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác địnhcủa S và vectơ pháp tuyến → − n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyếndương. Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ −→Q ∈ S thì → − r = P Q hợp với − n→ π Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là: cos(→ − r ,− n→ Q) ≥ 0 (1.1) −→ Từ P, xét tất cả các bán kính vectơ P Q, Q ∈ S . Các bán kính vectơ đó lấpđầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S.Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theomảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 |. Khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nóitrên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đocủa góc khối, và được kí hiệu là ωP (S) = |σ1 | (1.2) PChú ý 1.1. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R và cắt khối nón theo mảnhσR có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của σR và σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 |Do đó ta có thể viết: |σR | ωP (S) = (1.3) ...