Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học: Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert

Đề tài Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert nghiên cứu có cấu trúc gồm 3 chương trình bày về độ đo xác suất trên không gian metric, độ đo xác suất trên không gian Hilbert; độ đo xác suất trên C[0,1]. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học: Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– NGUYỄN THẾ LÂMĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2013 iMục lụcMục lục ii1 Độ đo xác suất trên không gian Metric 1 1.1 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Giá của một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Tính chất Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Độ đo hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Tôpô yếu trong không gian các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Sự hội tụ của phân phối mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Độ đo xác suất trên không gian Hilbert 21 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Một ước lượng của phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Phân phối chia vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 Luật kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Độ đo xác suất trên C[0,1] 51 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Các độ đo xác suất trên C [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Một điều kiện cho sự tồn tại một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo trong C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Phân bố của biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ii Lời mở đầuĐộ đo xác suất trên không gian metric là một lĩnh vực quan trọng của xác suấtthống kê. Để giúp độc giả hiểu rõ hơn về độ đo, các tính chất của độ đo, vai tròcủa độ đo cũng như mối liên hệ của độ đo với các lĩnh vực toán học khác, tôi đãhoàn thành luận văn này.Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục tàiliệu tham khảo và phụ lục. Chương 1: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian metric. Chương 2: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian Hilbert. Chương 3: Trình bày về độ đo xác suất trên C[0,1]. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH.ĐặngHùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên -ĐHQGHN. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoahọc mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoànthành luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện,những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để luận văn được hoàn thiện hơn.Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà nội đã tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để tôingày một hoàn thiện hơn về chuyên môn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới giađình và người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian làm luận văn.Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn của em đượchoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2013 iii Danh mục các ký hiệu 1. C (X): Không gian các hàm liên tục và bị chặn trên X; 2. C [0, 1]: Không gian các hàm liên tục trên [0, 1]; 3. Cµ : Giá của µ; 4. d (x, A) = inf d (x, y); y∈A 5. µ là độ đo xác định bởi : µ (A) = µ (−A); ¯ ¯ 6. µ (A): Độ đo của tập A; 7. |µ|2 := µ ∗ µ; ¯ 8. µ (y): Hàm đặc trưng của µ; ˆ 9. µα ⇒ µ: µα hội tụ yếu tới µ;10. µ ∗ ν: Tích chập của µ và ν;11. M (X): Không gian các độ đo xác suất trên X;12. f|A : f hạn chế trên A;13. W: Độ đo wiener. ivChương 1Độ đo xác suất trên không gianMetric1.1 Tính chính quyChúng ta hiểu một độ đo µ trên một không gian Metric là một hàm tập không âm,cộng tính đếm được µ trên lớp các tập Borel BX thỏa mãn µ(X) = 1.Định nghĩa 1.1. Cho µ là một độ đo trên không gian Metric X. Một tập BorelA ⊆ X được gọi là µ−chính quy nếu µ (A) = sup µ (C) : C ⊆ A, C đóng = inf µ (U ) : A ⊆ U, U mở .Nếu mọi tập Borel là µ−chính quy ta nói rằng µ là chính quy.Định lý 1.1. Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo trong X. Khi đómột tập A ∈ BX là µ−chính quy khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại tập mở Uε vàtập đóng Cε sao cho:(i) Cε ⊆ A ⊆ Uε ;(ii) µ(Uε − Cε ) < ε.Định lý 1.2. Cho X là một không gian Metric và µ là độ đo bất kì trên ...