Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann

Luận văn bao gồm có hai chương. Chương một nhắc lại các khái niệm cơ bản của hình học vi phân. Các khái niệm này bao gồm khái niệm đa tạp Riemann, định nghĩa của toán tử Laplace trên đa tạp Riemann cùng các khái niệm về liên thông, độ cong Riemann, độ cong Ricci và độ cong Bakry-Émery m chiều. Chương hai chứng minh ước lượng kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt Schr¨odinger được đề cập ở trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng gradient cho phương trình khuếch tán phi tuyến trên đa tạp Riemann ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ HẠNHƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2014Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. NguyễnThạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thànhluận văn thạc sỹ. Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầygiáo, cô giáo trong bộ môn Toán giải tích, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đạihọc quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạosau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học tựnhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã luôn bêntôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện luận văn của mình. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gianthực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mongnhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiệnhơn. Hà Nội, năm 2014 2Mục lụcMở đầu 41 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 7 1.1 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng Gradient cho phương trình Schr¨odinger với hàm thế vị h(x, t) 21 2.2 Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Kết luận 40Tài liệu tham khảo 40 3Mở đầuTrong hình học vi phân, việc nghiên cứu các hàm điều hòa đóng vai trò quan trọngbởi vì không gian các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ tới hình học, topo của đa tạp.Các hàm điều hòa là nghiệm của một phương trình elliptic ∆u = 0. Nhờ việc nghiêncứu không gian các hàm điều hòa, người ta thấy được vai trò của giải tích trên đatạp trong các bài toán quan trọng liên quan đến topo, hình học. Chính vì vậy, khônggian các hàm điều hòa được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học lớn.Chẳng hạn, năm 1975, Cheng và Yau đã thu được ước lượng gradient cho hàm điềuhòa (Xem tài liệu [8]). Nhờ các ước lượng gradient này người ta chứng minh được tínhchất Liouville, bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa. Bên cạnh việc nghiên cứuphương trình elliptic, người ta cũng phát triển và nghiên cứu phương trình parabolictrên đa tạp. Phương pháp parabolic cũng tỏ ra đặc biệt hữu dụng trong việc chứngminh các tính chất cơ bản của hàm điều hòa. Trong tài liệu [4], đối với phương trìnhnhiệt parabolic ut = ∆u, (Ở đây chỉ số t bên dưới chỉ ký hiệu của phép lấy vi phânriêng theo t, ∆ là toán tử Laplace trên đa tạp M ), Li và Yau đã thu được ước lượnggradient như sauĐịnh lý 0.1. (Li - Yau) Cho M là một đa tạp đầy n chiều với độ cong Ricci bị chặndưới bởi −K , K > 0. Giả sử u là một nghiệm dương bất kỳ của phương trình ut = ∆utrong B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ], khi đó với ∀α > 1, ta có |∇u|2 ut C nα2 nα2 −α 6 2 + + √ K, (1) u2 u R 2T 2(α − 1)trên B(x0 , 2R) × [t0 − 2T, t0 ]. Ở đây ∇ là toán tử gradient trên M và hằng số dương Cchỉ phụ thuộc vào số chiều n. Mặt khác, kể từ sau các nghiên cứu của Perelman về các gradient Ricci soliton đểchứng minh giả thuyết Poincare, người ta đặc biệt quan tâm đến các không gian đometric trơn. Không gian đo metric trơn là một đa tạp Riemann (M, g) với một hàmtrọng trơn φ sao cho metric eφ dv là metric đầy. Ở đây dv là dạng thể tích sinh bởi 4metric g ban đầu. Các gradient Ricci soliton chính là các trường hợp đặc biệt của cáckhông gian độ đo metric trơn. Toán tử Laplace được mở rộng một cách tự nhiên lênkhông gian này thành toán tử ∆u + h∇φ, ∇ui và độ cong Ricci được thay thế bởi độcong Bakry-Émery m chiều như sau f := Ric − ∇2 φ − 1 Ric ∇φ ⊗ ∇φ, m ≥ n, m−ntrong đó m = n nếu và chỉ nếu φ = 0. Năm 2005, Li Xiangdong [9] đã nghiên cứuphương trình nhiệt tổng quát trên các không gian đo metric trơn và đã mở rộng cáckết quả của Li-Yau lên không gian này. Li đã xét phương trình nhiệt ut = ∆u + h∇φ, ∇ui.Giả thiết rằng độ cong Bakry-Émery m chiều bị chặn dưới bởi f > −K, RicX. D. Li đã thu được ước lượng gradient như sau |∇u|2 ut C mα2 mα2 ...