Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm hữu tỷ trên đường cong elliptic

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu tập các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn và trên trường các số hữu tỉ. Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse về chặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn, Định lý Mordell–Weil về cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên Q.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm hữu tỷ trên đường cong elliptic 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm hiểu, học hỏicủa bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Duy Tân. Mọi kết quảnghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể.Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảovệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phươngtiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Hoàng Tùng 2 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy hướng dẫnPGS.TS. Nguyễn Duy Tân người đã tận tâm hướng dẫn, động viên tôi trong suốtthời gian làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn bè trong và ngoài Viện Toán học đãgiúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi về môitrường học tập của nơi đào tạo là Viện Toán học và cơ sở đào tạo là Học việnKhoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trongsuốt quá trình thực hiện luận văn này. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh vàđộng viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. 3 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt K một trường hoàn thiện, có đặc số khác 2. K một bao đóng đại số cố định của K. GK/K nhóm Galois của K/K. Fq một trường hữu hạn với q phần tử. Fq một bao đóng đại số của Fq .E [m] nhóm con m-xoắn của đường cong elliptic E. deg φ bậc của ánh xạ φ.degs φ bậc tách được của ánh xạ φ.degi φ bậc không tách được của ánh xạ φ.eφ (P ) chỉ số rẽ nhánh của φ. φ∗ ánh giữa các trường hàm được cảm sinh bởi ánh xạ hữu tỉ giữa các đường cong. 4 Danh mục các hình vẽHình 1.1: Kiểm tra luật hợp thành.Hình 1.2: Luật hợp thành trên đường cong elliptic.Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Đa tạp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Ánh xạ giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Luật nhóm trên đường cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Điểm có cấp hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn 30 2.1 Định lý Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Một định lý của Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ 46 3.1 Hàm độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Định lý Mordell yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Định lý Mordell trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kết luận 85Tài liệu tham khảo 86 5 6 MỞ ĐẦU Đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình y 2 = x3 + ax + b.Đây là một đối tượng quan trọng trong lý thuyết số. Chẳng hạn, nó được sửtrọng chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Ngoài ra nó còn có ứng dụngtrong lý thuyết mật mã (mật mã đường cong elliptic). Mục đích của luận vănnày là nghiên cứu tập các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữuhạn và trên trường các số hữu tỉ. Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Địnhlý Hasse về chặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữuhạn, Định lý Mordell–Weil về cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ của đường congelliptic trên Q. Chương I của luận văn gồm bốn phần. Phần thứ nhất là các khái niệm, địnhnghĩa, tính chất cơ bản của tập đại số. Phần thứ hai là các khái niệm, định nghĩa,tính chât cơ bản của đường cong đại sô. Phần thứ ba mô tả cách xây dựng cấutrúc nhóm trên đường cong elliptic. Phần thứ tư cho ta một mô tả về các điểmcó cấp hữu hạn. Chương II của luận văn gồm hai phần. Phần thứ nhất là Định lý Hasse vềchặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Phầnthứ hai trình bày một Định lý của Gauss, cho ta công thức tính chính xác sốđiểm hữu tỉ trong một trường hợp riêng của Định lý Hasse. Chương III của luận văn gồm ba phần. Phần thứ nhất xây dựng hàm độ cao vàchứng minh các tính chất cơ bản của hàm này. Phần thứ hai là Định lý Mordellyếu. Phần thứ ba là Định lý Mordell trên Q. Trong phần này, ta xây dựng mộtví dụ cụ thể cho việc tính toán nhóm E (Q) .CHƯƠNG 1Kiến thức chuẩn bị1.1 Đa tạp đại số Trong phần này, ta sẽ nêu ra những định nghĩa và tính chất cơ bản của đa tạpđại số trong không gian affine và không gian xạ ảnh nhằm phục vụ cho phầnsau của luận văn.1.1.1. Đa tạp affineĐịnh nghĩa 1.1.1. Không gian Affine n chiều trên trường K là tập hợp An = An K = P = (x1 , . . . , xn ) : xi ∈ K , ...