Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng bao gồm những nội dung về một số khái niệm và các định lý về vành không giao hoán; Tôpô hữu hạn và Tôpô Zariski; định lý Kaplansky Amitsur; đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH ------------------------ Nguyeãn Vuõ ThanhKHAÙI NIEÄM DAÀY ÑAËC TRONG ÑAÏI SOÁ THEO NGHÓA TOÂPOÂ VAØ MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG Chuyeân ngaønh : Ñaïi soá vaø lí thuyeát soá Maõ soá : 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ Thaønh phoá Hoà Chí Minh – Naêm 2006 MỤC LỤC TrangLời cảm ơn ...................................................................................................... 1Lời nói đầu ...................................................................................................... 2CHƯƠNG I:MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. .......................................................... 5 I.1.Modul bất khả qui trung thành .................................................. 5 I.2. Radical của vành........................................................................ 7 I.3.Radical của một đại số.............................................................. 10 I.4.Vành nửa đơn............................................................................ 10 I.5.Vành Artin ................................................................................ 11 I.6. Định lý dày đặc........................................................................ 12 I.7.Vành nguyên tố......................................................................... 17 I.8.Vành đơn................................................................................... 18CHƯƠNG II:TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI ........................... 19 II.1.Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô ......................... 19 II.2.Tôpô hữu hạn........................................................................... 25 II.3.Tôpô Zariski ............................................................................ 29CHƯƠNG III:ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR............................... 33 III.1.PI-đại số trên vành giao hoán có đơn vị ................................ 33 III.2. Đại số K { X } .......................................................................... 34 III.3. Định lý Kaplansky Amitrur .................................................. 36CHƯƠNG IV: ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG. .... 43 IV.1. Định lý Formanek về đa thức tâm trên Mn(K)..................... 43 IV.2. Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự ............. 52Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 61 1 LỜI CẢM ƠN --------------- Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong tổ Đạisố , quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ ChíMinh cùng quý thầy cô trong tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiênTP.Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quátrình viết luận văn này, cùng toàn thể quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệvà Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệptrường THPT Chuyên Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập vànghiên cứu hoàn thành chương trình khoá học. Tôi xin chân thành bày tỏ lòngbiết ơn đặc biệt đối với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn vàgiúp đỡ chỉ bảo trong quá trình xây dựng và hoàn thành luận văn này. Quá trình xây dựng và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận đượcsự động viên và giúp đở về tinh thần của các bạn học viên khoá 14 chuyênngành Đại số. Tôi xin ghi nhận nơi đây lòng biết ơn sâu sắc nhất. Tác giả luận văn 2 LỜI NÓI ĐẦU ------ Trong đại số không giao hoán có khái niệm dày đặc và “định lý dàyđặc” về vành nguyên thuỷ do Jacobson và Chevalley chứng minh làm cơ sởđể chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur về đại số nguyên thuỷ trong PI đạisố,định lý dày đặc đã đặt nền móng trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn,đồng thời mở ra những hướng nghiên cứu mới trong toán học. Tuy nhiêntrong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định lýKaplansky-Amitsur có sử dụng kết quả: f là đa thức trong K{X}, ánh xạ(l1,l2,…,ln) → f (l1,l2,…,ln) với li ∈ L = End FV là liên tục trong tôpô hữu hạn vànếu f là đồng nhất thức trên tập dày đặc trong L thì f là đồng nhất thức trên Lmà không được trình bày và chứng minh rõ ràng.Cũng như vậy trong chứngminh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận tác giả của sách PI-đại số cũng chỉ áp dụng các tính chất của tôpô Zariski mà không có chứngminh. Mục đích chính của luận văn là giải quyết hai vấn đề: Thứ nhất là xây dựng không gian tôpô trên tập YX tất cả các ánh xạ từX vào Y gọi là tôpô hữu hạn .Gọi V là không gian vectơ trên thể Δ và EndΔVlà tập tất cả các phép biến đổi tuyến tính của V trên Δ ,ta sẽ chứng minh V VEnd ΔV là tập đóng trong không gian tôpô V .Tôpô hữu hạn trên V cảm sinhtôpô trên EndΔV và A tác động dày đặc trong EndΔV theo nghĩa đại số khi vàchỉ khi A dày đặc (trù mật) trong EndΔV theo nghĩa tôpô tức là :A= End ΔV .Sau đó chứng minh ánh ...