Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết về phương trình trong không gian Banach có thứ tự

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết về phương trình trong không gian Banach có thứ tự trình bày các khái niệm cơ bản về mặt nón và các dạng nón trong không gian Banach có thứ tự; sự tồn tại nghiệm dương của một lớp phương trình vi phân, tích phân; phương trình vi phân chứa tham số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết về phương trình trong không gian Banach có thứ tự BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quang VũChuyên ngành : Toán giải tíchMã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn tập thể quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạylớp Cao học chuyên ngành Giải tích khóa 17- trường Đại học Sư PhạmTP.HCM.Thầy Cô đã mang đến cho em những kiến thức Toán học sâu rộng,bổ ích và thú vị. Em xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn BíchHuy.Thầy là người đã khơi nguồn ý tưởng ,tạo trong em ý thức ham học hỏivà lòng say mê nghiên cứu khoa học.Thầy cũng đã hết lòng tận tâm hướngdẫn, giúp em tích lũy được nhiều bài học kinh nghiệm bổ ích để em thực hiệnLuận văn này. Luận văn chắc hẳn còn có những thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô. MỞ ĐẦU Lý thuyết về phương trình trong không gian Banach có thứ tự được bắtđầu từ những năm 1940 và được phát triển cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng có giá trị trong nhiều lĩnh vựcnhư Vật lý, Sinh học, Hoá học, Kinh tế … Trong lý thuyết này nhiều lớp phương trình đã được nghiên cứu bằng cácphương pháp khác nhau bởi các nhà toán học từ nhiều trường phái. Việc tậphợp các kết quả về một số lớp phuơng trình cơ bản nhất và trình bày chúngmột cách có hệ thống là việc làm cần thiết. Mục tiêu của luận văn là trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệmdương của các lớp phương trình cơ bản trong không gian có thứ tự vàphương trình trong không gian Banach có thứ tự đề chứng minh sự tồn tạinghiệm của một số lớp phương trình vi phân và tích phân. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về mặt nón và các dạng nóntrong không gian Banach có thứ tự,lý thuyết bậc topo trên mặt nón,các kếtquả về điểm bất động dương của ánh xạ compac và điểm bất động của ánh xạtăng. Chương 2: Trình bày về sự tồn tại nghiệm dương của một lớp phươngtrình vi phân,tích phân.Trong đó,chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệmdương tuần hoàn của phương trình tích phân,nghiệm dương của bài toán biên3_điểm và nghiệm của phương trình vi phân hàm. Chương 3: Trình bày về phương trình vi phân chứa tham số, trong đóứng dụng định lý phân nhánh toàn cục vào một mô hình lò phản ứng hạt nhânvà hệ phản ứng khuếch tán. Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ1.1.Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón. 1.1.1.Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa: 1) Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu i) K là tập đóng ii) K  K  K ,  K  K ,   0 iii) K  ( K )  { } 2) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi : x  y  y  xK Mỗi x  K \ { } gọi là dương Mệnh đề 1: Giả sử “  ” là thứ tự sinh bởi nón, khi đó 1) x  y  x  z  y  z, x  y, z  X ,   0 2) xn  y n (n  N * ), lim xn  x, lim y n  y   x  y 3) Nếu {xn} là dãy tăng, hội tụ về x thì x n  x, n  N * Chứng minh 1) Ta có (y+z)-(x+z)=y-x  K  y  x   ( y  x )  K 2) Suy từ tính chất đóng của K 3) Cho m   trong bất đẳng thức x n  x n  m 1.1.2.Nón chuẩn Định nghĩa : Nón K gọi là nón chuẩn nếu: N  0 :   x  y  x  N . y Mệnh đề 2 : Giả sử “  ” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn, khi đó 1) Nếu u  v thì đoạn  u, v : {x  X : u  x  v} bị chặn theo chuẩn2) Nếu x n  y n  z n (n  N * ) và lim x n  a, lim z n  a thì lim y n  a 3) Nếu {xn} đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim x n  a Chứng minh 1) x  u, v    x  u  v  u  x  u  N . v  u  x  u  N. u  v 2)   y n  x n  z n  x n  y n  x n  N . z n  x n 3) Coi {xn} tăng và lim xnk  a k  Vì xn  xnk ( n cố định, k đủ lớn) nên xn  an  N * Cho   0 , chọn k0 để x nk0  a   / N thì ta có n  nk0  a  x n  a  x nko a  xn  N . a  xnk   0 1.1.3.Nón chính quy: Định nghĩa : Nón K gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ. Mệnh đề 3: Nón chính quy là nón chuẩn Chứng minh Giả sử K là nón chính quy nhưng không là nón chuẩn, khi đó: n  N *xn , y n :   xn  y n , xn  n 2 y n Đặt u n  xn / xn , vn  y n / xn thì 0  u n  vn , u n  1, vn 0 sao chox  X , u , v  K : x  u  v, || u || M . || x ||, || v || M . || x || Chứng minh I) Đặt C= K  B( ,1) ta chứng minh r  0 : C  B( , r )  Thật vậy, X  U nC ( do K là nón sinh) n 1  no , G mở : noC  G (do định lý Baire) 1 1 1 1 Vì C lồi, đối xứng nên : C  C  C  C  G G (mở, chứa  ) 2 2 2no 2no r II) Ta chứng minh : B  C ( B:= B (0,1)) 2 r .Lấy a  B 2 n r  Ta sẽ xây dựng dãy {xn} thoả : xn  1n C , a   xk < 2 k 1 2n  ...