Luận văn Thạc sĩ toán học: Một số bất đẳng thức đạo hàm và ứng dụng

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó của toán sơ cấp, đòi hỏi tính tư duy và tính sáng tạo cao. Trong chương trình chuyên toán của các trường THPT chuyên thì bất đẳng thức là một chuyên đề quan trọng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ toán học: Một số bất đẳng thức đạo hàm và ứng dụng Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C NGUY N KIM TOÀN M TS B T Đ NG TH C Đ O HÀM VÀ NG D NG LU N VĂN TH C S TOÁN H C Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60 46 01 13 Ngư i hư ng d n khoa h c : TS. Nguy n Văn Ng c Thái Nguyên - 20121Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M cl c M đ u 3 1 M t s b t đ ng th c đ o hàm c a hàm m t bi n 6 1.1 Các đ nh lý trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Lý thuy t tóm t t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 S tăng gi m c a hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Hư ng l i và đi m u n c a đ th hàm s . . . . . . . . . . 14 1.4 Công th c Taylor và b t đ ng th c Landau-Hadamard . . . 15 1.4.1 Công th c Taylor trên m t kho ng . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Công th c Taylor đ a phương . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 B t đ ng th c Landau-Hadamard . . . . . . . . . . 16 1.4.4 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 B t đ ng th c Glaeser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Gi i thi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 B t đ ng th c có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 B t đ ng th c không có đi u ki n biên . . . . . . . . 25 1.6 Công th c tính đ o hàm c p n và m t s b t đ ng th c liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7 M t s b t đ ng th c đ o hàm khác c a các đa th c . . . . 30 1.8 Đ nh lý Markov-Bernsterin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ng d ng c a đ o hàm trong ch ng minh b t đ ng th c, phương trình, b t phương trình 38 2.1 ng d ng đ o hàm trong ch ng minh b t đ ng th c . . . . 38 2.2 ng d ng c a đ o hàm trong phương trình,b t phương trình 50 22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M đ u 1. Lý do ch n đ tài lu n văn B t đ ng th c là m t trong nh ng v n đ khó c a toán h c sơ c p, đòi h i tính tư duy và tính sáng t o cao. Trong chương trình chuyên toán c a các trư ng THPT chuyên thì b t đ ng th c là m t chuyên đ quan tr ng. Các bài toán liên quan đ n b t đ ng th c cũng là nh ng bài toán thư ng g p trong các kì thi h c sinh gi i toán c p qu c gia, khu v c và qu c t . Các bài toán v b t đ ng th c khá đa d ng và có th ch ng minh b ng nhi u phương pháp khác nhau trong đó phương pháp s d ng đ o hàm là m t công c h u hi u.Tuy nhiên, các b t đ ng th c đ o hàm hi n nay còn ít đư c quan tâm và gi i thi u trong các tài li u b ng Ti ng Vi t. B i v y vi c sưu t m, tuy n ch n, khai thác v m t s b t đ ng th c đ o hàm m t bi n như: các đ nh lý trung bình, s tăng gi m c a hàm s , hư ng l i và đi m u n c a đ th hàm s , công th c Taylor, công th c tính đ o hàm c p n, là r t c n thi t cho công tác gi ng d y và h c t p toán h c b c ph thông. Trên cơ s các b t đ ng th c đ o hàm đó, có th v n d ng vào gi i quy t m t l p các bài toán khó như: ch ng minh b t đ ng th c, gi i phương trình, gi i b t phương trình. Đó là nh ng d ng toán đư c đ c p nhi u trong các kì thi h c sinh gi i toán c p qu c gia, Olympic toán qu c t . Bên c nh nh ng b t đ ng th c đ o hàm k trên thì v n còn khá nhi u b t đ ng th c đ o hàm khó hơn, đư c gi i thi u chưa nhi u b ng ti ng vi t như: b t đ ng th c Landau-Hadamard; b t đ ng th c Glaeser, b t 33Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đ ng th c Markov-Bernstein và m t s b t đ ng th c khác liên quan đ n hàm l i. Đây là nh ng b t đ ng th c khó còn ít đư c quan tâm, ch xu ...