Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ

Trong luận văn này, các tác giả sẽ nghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định và trí nhớ có thể suy giảm theo thời gian. Trong bài báo "Random walk with random resetting to the maximum position", các tác giả đã tính toán dáng điệu tiệm cận của các giá trị kì vọng và phương sai bởi phương thức hàm sinh với các kỹ thuật tính toán giải tích rất phức tạp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớBỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Nguyễn Văn Quyết MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CÓ TRÍ NHỚ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Nguyễn Văn Quyết MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CÓ TRÍ NHỚ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. ĐOÀN THÁI SƠN Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đoàn Thái Sơn và thầy Cấn VănHảo. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đềuđược trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tạibất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bốtrên bất kì một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời camđoan. Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Nguyễn Văn Quyết 3 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKH.Đoàn Thái Sơn và TS. Cấn Văn Hảo, hai người thầy đã trực tiếp hướng dẫnvà giúp đỡ tôi tìm ra đề tài luận văn cũng như định hình hướng nghiên cứu.Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình trong một thời giandài của hai thầy. Các thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu Toánhọc, Viện Toán học đã hỗ trợ tài chính giúp tôi hoàn thành hai năm học thạcsỹ. Bên cạnh đó, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận văn,tôi còn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của các thầy cô,anh chị và bạn bè trong và ngoài Viện Toán học. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi vềmôi trường học tập của nơi đào tạo là Viện Toán học và cơ sở đào tạo là Họcviện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ ViệtNam trong suốt quá trình thực hiện Luận văn này. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. 4 Danh mục các hình vẽ, đồ thị ˆ được xây dựng từ bước đi ngẫuHình 3.1: Minh họa hai quá trình X và Xnhiên đơn giản Z và tập J với hai thời điểm reset t1 , t2 ..............................40Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết quả của chúng ta và của bài báo [22].................54 M XnHình 3.3: Kết quả thực nghiệm dáng điệu của √n n và √ n với n = 106 ...........54Mục lụcLời cam đoan 2Lời cảm ơn 3Danh mục các hình vẽ, đồ thị 4Mục lục 6Mở đầu 71 Giới thiệu 10 1.1 Sơ lược một số kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Bước đi ngẫu nhiên dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Quá trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 21 2.1 Mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Các định lý giới hạn cho Mn và Xn . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Tính chất của τ và Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mn và Xn . . . . . . . . . . . . 303 Bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm 34 3.1 Một hiệu chỉnh của (Xn )n≥0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Dáng điệu tiệm cận của E[Xn ] và E[Mn ] . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Pha dưới 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 6 3.2.2 Điểm chuyển pha a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.3 Pha trên a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Kết luận và kiến nghị 62Tài liệu tham khảo 63 7 MỞ ĐẦU Tìm kiếm là một trong những quá trình cơ bản và quan trọng mà ta có thểbắt gặp mọi lúc mọi nơi [1, 2, 3, 4]. Chẳng hạn động vật tìm kiếm thức ăn,con người tìm kiếm đồ vật bị mất hay tìm kiếm ai đó trong đám đông. Gầnđây, vấn đề tìm kiếm ...