Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép thu gọn đại số Lie số chiều thấp

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép thu gọn đại số Lie số chiều thấp là nhằm dùng thuật toán do các nhà toán học Maryana Nesterenko và Roman Popovych đưa ra để tính toán rõ hơn các phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép thu gọn đại số Lie số chiều thấp BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Vân PHÉP THU GỌN ĐẠI SỐ LIE SỐ CHIỀU THẤPChuyên ngành: Hình Học và TôpôMã số: 60-46-10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh 09-2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. NguyễnThái Sơn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, vì Thầy đã tạo cơ hội cho tôilàm quen với lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie, hiểu được thuật toán tính các phépthu gọn đại số Lie có số chiều thấp . Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – TinTrường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyênmôn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoahọc Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sưphạm Tp. Hồ Chí Minh; cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã độngviên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Thị Thu Vân BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆUad x Biểu diễn chính quy của gAut( g ) Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên không gian vectơ V pq , p, q  Bất biến đại số LieDer(A) Toán tử vi phân trên AEnd(V) Đại số các toán tử tuyến tính trên Kexp Ánh xạ mũ exp.g Đại số LieG Nhóm Liegk ,gk Các ideal dẫn xuất thứ k của gg Không gian đối ngẫu của đại số Lie g .g0 =(V,[.,.]0 ) (Cái) thu gọn liên tục một tham số của gGL(n, ) Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.K g  K-quỹ đạo của Gg Dạng dừng của đại số Lie gLn Biến của đại số Lie n-chiềuMat(n, ) Tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.tr(ad u ) Vết của biểu diễn chính quy ad uTeG Không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e.A:=B A được định nghĩa là B MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Đại số Lie thực hay phức và các phép thu gọn chúng có nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực toán học và vật lý. Lý thuyết nền tảng của phép thu gọn liên tụcđại số Lie có số chiều hữu hạn đã được xây dựng và phát triển từ vài chục năm nay.Đặc biệt có một số chuẩn cần thiết của phép thu gọn được chọn lọc và một số chuẩnmới cũng được đưa ra. Các đại lượng bất biến và nửa bất biến cần thiết đã được tínhcho lớp rộng các đại số Lie bao gồm cả đại số Lie có số chiều thấp. Trên cơ sở đóhai nhà toán học Maryana Nesterenko và Roman Popovich đã giới thiệu một thuậttoán để tính phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp. Thuật toán này dựa trên việcliệt kê hoàn toàn các đại số Lie có số chiều cố định không đẳng cấu và hệ thống cácchuẩn của phép thu gọn đựợc đưa ra. Việc xây dựng hệ thống các chuẩn của phépthu gọn làm cho việc ứng dụng thuật toán này một cách hiệu quả hơn và các tínhtoán ở đây thuần túy là đại số. Phương pháp này cũng đòi hỏi phải có sự lựa chọncơ sở thích hợp của đại số Lie và điều đó cũng mang lại các tính toán đơn giản hơn. Đầu tiên, Segal đưa ra khái niệm phép thu gọn dựa vào quá trình lấy giới hạncác đại số Lie. Đó là ví dụ được cho bởi sự liên kết giữa cơ học tương đối và cơ họccổ điển thông qua nhóm đối xứng của Pointcare và Galilê. Ông cũng là người đầutiên xây dựng định nghĩa phép thu gọn theo thuật ngữ giới hạn. Sau Segal, kháiniệm phép thu gọn thông qua nhóm đối xứng được xây dựng bởi Inonu- Wigner vàđược gọi là phép thu gọn Inonu-Wigner. Sau đó, Saletan nghiên cứu lớp phép thugọn một tham số tổng quát trong đó các phần tử của ma trận tương ứng với ma trậnsắp thứ tự ban đầu của tham số thu gọn. Ông cũng đưa ra định nghĩa tổng quát phépthu gọn dựa trên quá trình lấy giới hạn móc Lie và cho phép ta tránh được nhữngphiền phức tồn tại trong định nghĩa Segal. Phép thu gọn trong trường hợp ba chiều được xét bởi Inonu-Wigner, nhưngcó một số trường hợp bị bỏ qua và Conatser đã mô tả triệt để sau đó. Sử dụng việcphân loại các đại số Lie có số chiều thấp, Huddleston đã xây dựng phép thu gọn đạisố Lie bốn chiều và Lauret đã giải quyết bài toán rất đẹp theo thuật ngữ bao đóngquỹ đạo. Tính phức tạp của việc mô tả bao đóng quỹ đạo đại số là số chiều của khônggian vectơ nền được tăng lên theo hàm số mũ. D ...