Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị

Mục đích của đề tài là giới thiệu hướng nghiên cứu sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị theo sơ đồ xây dựng khái niệm khả vi của ánh xạ đa trị. Luận văn sẽ tài liệu bổ ích cho các học viên Cao học các học phần Phép tính vi phân, Giải tích phi tuyến,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH DƯƠNG THÙY TRANG SỰ KHẢ VI FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2018 2Mục lục Lời mở đầu 41 Ánh xạ đa trị 7 1.1 Ánh xạ đa trị, các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ánh xạ affine 11 2.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Ánh xạ liên hợp của ánh xạ đa trị affine . . . . . . . . . . . 15 2.3 Quá trình tuyến tính liên kết với ánh xạ đa trị affine . . . . 20 2.4 Một vài tính chất khác của ánh xạ đa trị affine . . . . . . . . 22 2.5 Ánh xạ đa trị affine không mở rộng được . . . . . . . . . . . 243 Sự khả vi Fréchet 27 3.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Sự khả vi của ánh xạ và sự khả vi của hàm tựa của nó . . . . 30 3Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài Sự khả vi Fréchetcủa ánh xạ đa trị, do tôi thực hiện với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình củaPGS. TS. Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai. Nội dung củaluận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồnsách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàntoàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình. 4Lời mở đầu Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới mặc dù từ nhữngnăm 30 của thế kỉ XX, các nhà toán học đã nhận ra tầm quan trọng củachúng. Sự ra đời của tạp chí quốc tế Set- Valued Analysis vào năm 1993là một mốc lớn trong quá trình phát triển của hướng nghiên cứu này. Hơn nữa, ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống trong Toán học vàonhững năm 1950-1960, do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng nhưdo nhu cầu mô tả các nghiên cứu mô hình mới phát sinh trong quá trình pháttriển của khoa học, kỹ thuật. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nghiêncứu các bao hàm thức vi phân và tích phân, Lí thuyết điều khiển, Tối ưu,Tin học lí thuyết,... Cũng giống như việc nghiên cứu các ánh xạ đơn trị phi tuyến được đưa vềnghiên cứu các ánh xạ tuyến tính là đạo hàm của chúng; trong nghiên cứucác ánh xạ đa trị, các nhà Toán học cũng muốn xấp xỉ chúng bởi các ánh xạđơn giản hơn, gọi là đạo hàm của chúng. Có ba hướng chính trong cách tiếp cận khái niệm khả vi của ánh xạ đatrị. Ở hướng nghiên cứu thứ nhất, ánh xạ đa trị F được đồng nhất với đồ thịgr F và đạo hàm của F tại điểm z0 thuộc gr F được định nghĩa là ánh xạ đatrị mà đồ thị của nó là nón tiếp xúc (theo một nghĩa nào đó) với gr F tại z0 .Trong hướng nghiên cứu thứ hai, các ánh xạ đa trị được xét như các ánh xạđơn trị, nhận giá trị trong một không gian được xây dựng thích hợp, có cấutrúc không gian vectơ tôpô và đạo hàm của ánh xạ đơn trị tương ứng đượclấy làm đạo hàm của ánh xạ đa trị ban đầu. Hướng thứ ba là sự mở rộng tựnhiên của phương pháp định nghĩa đạo hàm của ánh xạ đơn trị. Theo hướngnày, đầu tiên ta định nghĩa khái niệm “tiếp xúc” trong lớp A các ánh xạ đượcxét và chọn lớp các ánh xạ “đơn giản” hơn các ánh xạ thuộc lớp A. Khi đóánh xạ F thuộc lớp A gọi là khả vi nếu có một ánh xạ thuộc lớp B tiếp xúcvới F. Hướng nghiên cứu thứ nhất và thứ hai về sự khả vi của ánh xạ đa trịđã được trình bày trong nhiều sách về Giải tích đa trị, trong khi đó, hướngthứ ba chưa được giới thiệu nhiều. Do đó việc thực hiện luận văn Thạc sĩ về 5hướng này là tự nhiên và cần thiết. Mục tiêu của đề tài là giới thiệu hướng nghiên cứu sự khả vi Fréchet củaánh xạ đa trị theo sơ đồ xây dựng khái niệm khả vi của ánh xạ đa trị. Luậnvăn sẽ là tài liệu bổ ích cho các học viên Cao học khi học các học phần Phéptính vi phân, Giải tích phi tuyến,... 6Lời cảm ơn Trong quá trình hoàn thành bài viết này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích Huy - Người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn,chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian vừa qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả quý Thầy Cô trong khoaToán - Tin trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tìnhgiảng dạy, giúp đỡ và nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trìnhhọc cao học. Và cũng cảm ơn các bạn học viên cao học K26 đã cùng chia sẻvới tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện. Cuối cùng xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công đến quýthầy cô, anh chị và các bạn trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ ChíMinh. 7Chương 1Ánh xạ đa trị1.1 Ánh xạ đa trị, các khái niệm cơ bản Cho X và Y là các không gian vector định chuẩn có số chiều hữu hạn trêntrường R. F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập concủa Y. Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y. Như vậy với mỗi x ∈ X thìF (x) là một tập con của Y . Không loại trừ khả năng với một số phần tử xnào đó mà F (x) là một tập rỗng. Ta sẽ thường dùng ký hiệu F : X ⇒ Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ Xvào Y . Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì tanói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Yngười ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X → Y .Ví dụ ...