Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật giải lặp và khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật giải lặp và khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp nghiên cứu thuật giải xấp xỉ tuyến tính, khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm, thuật giải lặp cấp hai cho bài toán,... Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật giải lặp và khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM HỒ QUANG ĐỨCTHUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦANGHIỆM THEO HAI THAM SỐ BÉ CHO PHƯƠNG TRÌNHSÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 Thành phố HCM 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Nguyễn Thành Long, KhoaToán – Tin học, Trường ĐHKHTN TP. HCM lời cảm ơn sâu sắc nhất. Thầy đã tận tâmgiảng dạy và hướng dẫn tôi từng bước làm quen với công việc nghiên cứu khoa họcmột cách nghiêm túc. Đức tính say mê, nghiêm túc trong nghiên cứu khoa học củaThầy là tấm gương để thế hệ chúng tôi noi theo. Nhân đây, tôi cũng biết ơn sâu sắc Thầy TS. Trần Minh Thuyết đã dành nhiềuthời gian, công sức hướng dẫn và đưa ra nhiều góp ý quý báu cho luận văn của tôi. Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ -Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi hoàn thành chương trình học và quá trình hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trường THPTVĩnh Kim – Tiền Giang, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất, tinh thần cũngnhư thời gian để tôi hoàn thành tốt chương trình học tập và trong thời gian viết luậnvăn. Lời thân thương nhất xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điềukiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này; Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót,rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bèđồng nghiệp. Tiền Giang, tháng 10 năm 2010. Hồ Quang Đức 2 Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi tập trung xét bài toán giá trị biên và ban đầu chophương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây utt  (t )uxx  ut  f (x , t, u ), 0  x  1, 0  t  T , (1.1) u(0, t )  0, ux (1, t )  u(1, t )  g (t ), (1.2) u(x , 0)  u0 (x ), ut (x , 0)  u1(x ), (1.3)trong đó ,  là các hằng số; , u0 , u1, f , g là các hàm cho trước thỏa các điều kiệnmà ta sẽ chỉ ra sau. Phương trình (1.1) mô tả dao động phi tuyến của một sợi dây đànhồi, ở đây, u là độ võng, các hằng số ,  và các hàm , u0 , u1, f , g xuất hiện trongbài toán có một ý nghĩa Cơ học nào đó. Bài toán (1.1) − (1.3) cũng được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, xem [3 – 13], [15 – 17] và cáctài liệu tham khảo trong đó. Phương trình (1.1) với các dạng khác nhau của , f và các điều kiện biên khácnhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn Trong [3], N. T. Long, A. P. N. Định, T. N. Diễm đã khảo sát phương trình (1.1)với   1,   0, f  f (x , t, u, ux , ut )  g(x , t, u, ux , ut ) với điều kiện biên hỗn hợpkhông thuần nhất. Trong [5], N. T. Long, N. C. Tâm, N. T. T. Trúc khảo sát phương trình (1.1) với  1,   0, f  f (x , t, u, ux , ut ) với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. Trong [6] N. T. Long đã nghiên cứu bài toán (1.1) với   B(t,ux 2 ),  0, f  f (x , t, u, ux , ut ) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bàitoán (1.1) – (1.3) với g(t )  0. Chứng minh được dựa vào phương pháp Galarkin liênkết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact. Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bàitoán (1.1)  (1.3) bằng cách đổi ẩn hàm, ta đưa bài toán (1.1)  (1.3) về bài toán của cóđiều kiện biên thuần nhất đã xét ở chương 3. 4 Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai{um } về nghiệm yếu của bài toán (1.1)  (1.3) thỏa một đánh giá sai số n um  u*  C  2 . Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu bài toán nhiễu theo 2 tham số bé (, ) u  (t )u  u  f (x , t, u ), 0  x  1, 0  t  T ,  tt xx t  u(0, t )  0, ux (1, t )  u(1, t )  g(t ),   u(x , 0)  u0 (x ), ut (x , 0)  u1(x ),trong đó, , f , g, u0 , u1 là các hàm cho trước.a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu u  u, của bài toán (P, ) khi  0,   0.b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u  u, của bài toán (P, ) theo 2tham số bé (, ) , có nghĩa là có thể xấp xỉ nghiệm u, bởi một đa thức theo hai biến,  : u, (x , t )   U ij (x , t )i  j i  j NTheo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm U ij (x , t ) (i, j  1, N ) và thiết lập đánh giá   N 1 u  ,   U ij (x , t ) i  j  CN 2  2 i  j N *Theo một chuẩn thích hợp  , với các tham số dương ,  đủ bé, hằng số C N độclập với các tham ...