Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một phương trình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một phương trình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp trình bày các ký hiệu, công cụ, không gian hàm, tính chất các phép nhúng có liên quan; khảo sát sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán; khảo sát một thuật giải xấp xỉ tuyến tính và sự hội tụ của thuật giải về nghiệm yếu của bài toán và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một phương trình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Võ Thị Bích Khuê VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHITUYẾN TRONG MIỀN HÌNH VÀNH KHĂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi đến Thầy Nguyễn Thành Long, ngườiThầy hết lòng vì học trò, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy đã rất âncần và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi nắm được từng bước nghiên cứu khoa học,giải đáp những thắc mắc, khó khăn khi tôi gặp phải. Từ Thầy, tôi càng hiểu thêmđược ý nghĩa, hứng thú và lòng say mê của việc nghiên cứu Toán học tưởng chừngnhư rất khô khan và ít ứng dụng. Tôi xin khắc ghi những lời dạy, sự chỉ bảo ân cầncủa Thầy trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tôi chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô đã đóng góp các ý kiến chân tình và bổích cho luận văn đồng thời cũng giúp cho tôi hiểu thêm một cách sâu sắc về bàitoán. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô trong và ngoàikhoa Toán- Tin học, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảngdạy, truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ về tinh thần, tư liệu cho tôi trong suốtthời gian học tập. Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy, Cô thuộcPhòng Quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tụchành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng không thể quên gửi lời biết ơn chân tình đến gia đình, bạn bè tôi,các anh chị cùng lớp cao học giải tích khóa 16, các anh chị trong nhóm Semina,những người luôn ở bên tôi những lúc khó khăn, giúp đỡ tôi trong quá trình tôi họcvà hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏithiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành củacác bạn bè đồng nghiệp. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008. Võ Thị Bích Khuê. MỞ ĐẦU Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong nhiều bài toán về phương trình sóng phituyến là đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng như trong [1 –17] và các tàiliệu tham khảo trong đó. Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán về một phươngtrình sóng phi tuyến trong miền hình vành khăn với điều kiện biên hỗn hợp sau vtt   vrr  1r vr   v p2(0.1) v  f1 (r , t ), 1  r  R, 0  t  T ,(0.2) v(1, t )  0,(0.3) vr ( R, t )  h(t )v( R, t ),(0.4) v(r ,0)  v0 (r ), vt (r ,0)  v1 ( r ),trong đó R  1, p  1 là các hằng số không âm cho trước; v0 , v1 , f1 , h là các hàmcho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Ta xét màng phẳng hình vành khăn1  {( x, y )  2 : 1  x 2  y 2  R 2 } được giới hạn bởi hai đường tròn, gồm mộtđường tròn nhỏ 1  {( x, y )  2 : x 2  y 2  1} và gồm một đường tròn to R  {( x, y )  2 : x 2  y 2  R 2 }. Bài toán (0.1) - (0.4) xuất phát từ bài toán cho phương trình sóng phi tuyếntrong màng phẳng hình vành khăn 1(0.5) utt  u  F (u )  f ( x, y, t ), ( x, y )  1 , 0  t  T ,với điều kiện biên(0.6) u  0, ( x, y )  1 , 0  t  T , u(0.7)  h(t )u ( x, y, t ), ( x, y )   R , 0  t  T , vvà điều kiện đầu(0.8) u ( x, y,0)  u0 ( x, y ), ut ( x, y,0)  u1 ( x, y ), ( x, y )  1 ,trong đó v là vectơ pháp tuyến đơn vị trên biên x 2  y 2  R 2 , R  1 hướng rangoài, h(t ), f ( x, y, t ), u0 ( x, y ), u1 ( x, y ) là các hàm số cho trước thỏa một số điềukiện nào đó ta sẽ chỉ rõ sau đó. Ký hiệu  để chỉ toán tử Laplace hai chiềuu  u xx  u yy . - u ( x, y, t ) là độ dịch chuyển của màng 1 tại điểm ( x, y )  1 ở thời điểmt, với 0  t  T . - f ( x, y, t )  F (u ) là ngoại lực tác động lên màng 1 . - Điều kiện biên (0.6) cho biết màng 1 bị giữ chặt trên đường tròn 1 . - Điều kiện biên (0.7) trên đường tròn  R mô tả sự ràng buộc đàn hồi. Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán với các số hạng f ( x, y, t ),u0 ( x, y ), u1 ( x, y ) chỉ phụ thuộc vào r  x 2  y 2 .  F (u )  u p  2 u, khi p  2, ...