Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính compact, liên thông của tập nghiệm một số phương trình vi, tích phân

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính compact, liên thông của tập nghiệm một số phương trình vi, tích phân trình bày định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii trong không gian lồi địa phương; tính không rỗng, compact, liên thông của tập nghiệm phương trình tích phân; phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính compact, liên thông của tập nghiệm một số phương trình vi, tích phân BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM PHẠM KIM KHÁNHTÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN Chuyên Ngành : Toán Giải Tích Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HOÁ Thành Phố Hồ Chí Minh – Năm 2007 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến PGS-TS. Lê Hoàn Hoá, người thầy hết lòng vì họctrò của tôi, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy là người đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảotận tình trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành tốt luậnvăn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán – Tin học Đại học Sưphạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy để tôi có được những kiến thức quý báu làm hành trangcho quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học, trường ĐạiHọc Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về các thủ tục hành chính trong suốtquá trình học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô trong tổtoán, trường THPT Trưng Vương Tp. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi yên tâm hoànthành tốt luận văn này. Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tấtcả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quátrình thực hiện luận văn này. Phạm Kim Khánh LỜI MỞ ĐẦUĐịnh lý điểm bất động dạng Krassnosel’skii đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát sự tồn tạinghiệm các phương trình vi, tích phân. Vấn đề này được nhiều nhà Toán học quan tâm khảo cứu chẳnghạn [1], [3], [5]. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng định lý điểm bất động dạng Krassnosel’skiitrong không gian lồi địa phương để chứng minh sự tồn tại nghiệm, cũng như tính compact liên thôngcủa tập nghiệm các phương trình sau : t tPhương trình tích phân: x  t    f  s, x  s   ds   g  t , s, x  s   ds    t  , t  0, 0 0Phương trình vi phân hàm cấp hai có đđối số chậm : u   f  t , ut , u   t    0, 0  t 1Luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1 trình bày định lý điểm bất động dạngKrassnosel’skii trong không gian lồi địa phương, và kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. Chương 2dành cho việc trình bày tính không rỗng, compact, liên thông của tập nghiệm phương trình tích phân,và chương 3 là phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm.Do điều kiện bị hạn chế nên việc khảo sát các tính chất tương tự đối với tập nghiệm yếu của một sốphương trình sóng, chưa được trình bày trong khoá luận này. CHƯƠNG I: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG DẠNG KRASNOSEL’SKII TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNGI.1 Định nghĩaGiả sử X là không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách được trên X, D làmột tập con của X và U: D  X . Với bất kỳ a  X , ta định nghĩa : U a : D  X bởi U a  x   U  x   a .Toán tử U : D  X được gọi là thoả điều kiện ( A) trên tập con  của X nếu:( A.1) Với bất kỳ a  , U a  D   D .(A.2) Với bất kỳ a   và p  P , tồn tại ka  Z  với tính chất :   0, r  N và   0 saocho x, y  D,  ap  x, y        ap U ar  x  ,U ar  y     , ở đây   ap  x, y   max p U ai  x   U aj  y   i, j  0,1,...ka .N  1, 2,3,...  và Z   N  0 I.2 Mệnh đề ( Nguyên lý hội tụ của Solomon Leader) Giả sử q : Z 2   0;   là một hàm số sao cho : q  m, n   q  m, k   q  k , k   q  k , n  (1.1) m, n, k  Z  Khi đó q  m, n   0 khi m, n   nếu và chỉ nếu:   0, r  N và   0 sao cho với m, n  Z  , q  m, n      ta có q  m  r, n  r    (1.2)I.3 Định lýGiả sử X là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy đủ theo dãy củaX, U là toán tử liên tục đều trên D(i.e với p  P và   0 , tồn tại   0 sao chop  x  y     p U  x   U  y     .Giả sử U thoả điều kiện (A) trên tập con  của X. Khi đó toán tử  I  U  được định nghĩa ...