Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid

Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc thì đã được khai thác khá triệt để ở chương trinh phổ thông, thậm chí cả cấp THCS. Vì nó là bài toán so sánh, nên trong các kỳ thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về cực trị bất đẳng thức. Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid, mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨCOSTROWSKI VÀ TRAPEZOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨCOSTROWSKI VÀ TRAPEZOID Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 iMục lụcBảng ký hiệu viết tắt 1Mở đầu 2Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Bất đẳng thức Ostrowski và trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Chương 2. Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid 9 2.1. Về bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối . . . . . . 9 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn . . . . 12 2.2. Về bất đẳng thức trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có biến phân bị chặn . . 14 2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm đơn điệu . . . . . . . . . 16 2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối . . . . 19 2.2.4 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai . . . 21 2.3. Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev . . . . . . . 23Chương 3. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức 28 3.1. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Bất đẳng thức kiểu trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid mới . . . . . . . . . 34 3.3.1 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski mới . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.3 Làm chặt bất đẳng thức trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid mới . . . . . . . . . . . . . . . . 36Kết luận 38Tài liệu tham khảo 39 1Bảng ký hiệu viết tắtb_ (f ) biến phân toàn phần của hàm số f trên đoạn [a, b]; anX ai := a1 + a2 + · · · + an ; i=1max{a, b} phần tử lớn nhất trong tập hai phần tử a, b; Z b 1s skf ks := | f (t) | dt với s ∈ [1; ∞), hay chuẩn cấp s a của hàm số f trên đoạn [a, b];kf k∞ := sup | f (t) |; t∈(a;b) Xn−1σ(f, ξ, In ) := f (ξi )hi , (tổng Riemann của hàm f trên [a, b]); i=0kf k[u,v],s chuẩn cấp s của hàm số f trên đoạn [u, v]. 2Mở đầu Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn thể thao trí tuệ giúpngười học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy cũng như bồi dưỡng nănglực thẩm mỹ khi nghiên cứu nét đẹp của những công thức giải toán độc đáo và mớimẻ. Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi Toáncấp tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế,.... các bài toán liên quan đến bất đẳng thức chiếmmột vị trí đáng kể. Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc thì đã được khai thác khá triệtđể ở chương trinh phổ thông, thậm chí cả cấp THCS. Vì nó là bài toán so sánh,nên trong các kỳ thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về cực trị bất đẳngthức. Tuy vậy, một lượng lớn bài toán về bất đẳng thức hàm lại ít được khai thácở bậc trung học, dạng toán này thường chỉ xuất hiện dạng đơn giản ở bài toán bấtphương trình, hoặc xuất hiện bài khó ở các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia,chọn đổi tuyển Quốc tế. Vì lý do đó mà tôi lựa chọn đề tài về bất đẳng thức hàmlàm chủ đề cho luận văn thạc sĩ của mình, cụ thể với đề tài: “Về bất đẳng thứcOstrowski và Trapezoid’. Đây là loại bất đẳng thức trung bình tích phân. Năm 1938, Ostrowski đã chứng minh được một ước lượng về trung bình tíchphân như sauĐịnh lý 0.1. Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b)với |f 0 (t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b). Khi đó, với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có  2  a + b  Zb 1 x − 2   f (x) − 1  4 +  b − a   M (b − a). f (t)dt 6  (0.1)  b − a a 1Hằng số là đánh giá tốt nhất, không thể thay thế bằng số bé hơn. 4 Bất đ ...