Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng

Bài viết thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàngTAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 19 - Thaùng 2/2014 LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNGCÁC BIẾN NG U NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC THEO HÀNG DƯƠNG XUÂN GIÁP(*) NGUYỄN THỊ QUỲNH HOA(**)TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập luật số lớn dạng hội tụ osco cho mảng tamgiác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gianBanach khả li. Kết quả của chúng tôi thu được không cần giả thiết kì vọng bị chặn và c nmở rộng một kết quả của Inoue và Taylor. Từ khoá: luật số lớn dạng hội tụ osco, biến ngẫu nhiên đa trị, không gian Banachkhả liABSTRACT In this paper, we establish the law of large numbers for triangular array of row-wiseexchangeable random sets in a separable Banach space in the Mosco sense. The resultsare obtained without bounded expectation conditions and improve the results by Inoue andTaylor. Keywords: the law of large numbers in the Mosco sense, random sets, separableBanach space1. PHẦN MỞ ĐẦU Trong mấy thập kỉ gần đây, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị dẫn tới nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hoá và điều khiển, hình học ngẫu nhiên,toán kinh tế, thống kê, y học,... Năm 2006, H. Inoue và R. L. Taylor thiết lập luật số lớndạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng trênkhông gian Banach khả li [4, tr. 271]. Gần đây, trong bài báo [5], Nguyễn Văn Quảng vàDương Xuân Giáp đã thiết lập các luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác các biếnngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Rademacher dạng . Đây là bài báo đầu tiên thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco chomảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị. Tiếp nối hướng nghiên cứu này, chúng tôi đãthiết lập được luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiênhoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên một không gian Banach khả li. Trongbài báo [5], luật số lớn được thiết lập dưới điều kiện kì vọng bị chặn, tuy nhiên trong bàibáo này chúng ta không cần giả thiết này. Kết quả của chúng tôi còn mở rộng một kết quảcủa Inoue và Taylor.2. KIẾN THỨC CHUẨN B Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn giả thiết rằng là một không gian xácsuất đầy đủ, là không gian Banach khả li thực và là không gian đối ngẫu củanó. Ký hiệu là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach , làtập tất cả các số thực. Trên ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toánđược định nghĩa như sau:(*) ThS.NCS, Trường Đại học Vinh.(**) Học viên Cao học 19 Toán - Trường Đại học Vinh. 82trong đóÁnh xạ được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập con mở U của thì tập conthuộc .Phần tử ngẫu nhiên được gọi là một lát cắt -đo được (hay nói gọn là lát cắtđo được) của X nếu với mọi . -đại số Effros trên là -đại số sinh bởi các tập convới U là một tập con mở trên . Khi đó, một hàm đa trị là đo được khi vàchỉ khi là -đo được, nghĩa là với mọi , ta có .Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị được gọi là hoán đổi đượcnếuvới mọi và với mọi phép hoán vị của tập .Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị -đo được X, ta đặtKì vọng của biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như sau với là tích phân Bochner thông thường.Cho một -đại số con của -đại số và một biến ngẫu nhiên đa trị -đo được (nghĩa là với mọi tập con mở của ). Với và xác định trên , ta định nghĩa:Cho , chúng ta kí hiệu: là bao đóng (theo chuẩn), là bao đóng (theotôpô yếu), là bao lồi, là bao lồi đóng của .Hàm khoảng cách , hàm tựa của tương ứng được định nghĩa như sauChúng ta còn định nghĩaCho là một tôpô trên và là một dãy nhận giá trị trên . Đặt:với là một dãy con của . Các tập con và tương ứng gọilà giới hạn dưới và giới hạn trên của , liên quan đến tôpô .Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng .Một dãy được gọi là hội tụ tới , theo dạng Kuratowski, tôpô , nếu hai đẳngthức sau đây được thỏa mãn 83Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết . Rõ ràng, điều này đúng khi vàchỉ khiChúng ta ký hiệu (tương ứng ) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tư ...