Luyện giải đề thi cao học môn Đại số

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Luyện giải đề thi cao học môn Đại số dưới đây để làm quen với cấu trúc đề thi cũng như tham khảo cách giải bài tập đề thi cao học. Mỗi bài tập đi kèm sẽ có lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững công thức và nâng cao kỹ năng giải đề thi. Nhanh tay tải về cho mình tài liệu dưới đây để cùng ôn tập nhé, chúc các bạn thi tốt!

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện giải đề thi cao học môn Đại số Luyện giải đề thi cao học môn đại sốGIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌCMÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1 Luyện giải đề thi cao học môn đại sốBài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4  R3 xác định bởif(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4) với mọi x=(x1,x2,x3,x4)  R4M={ (x1,x2,x3,x4)  R4 : x1-x2=0 và x3-x4=0}a. Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R 4 và R3 . xác định Imf và Kerfb. CM f(M) là không gian vectơ con của R 3. tìm dimf(M)Giải :  Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R 4 và R3Trong R4 ta có e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)Trong R3 ta có e’1=(1,0,0),e’2=(0,1,0),e’3=(0,0,1)Ma trận f trong cơ sở chính tắc là a1 a2 a3 a 4  1 1 0 0A f /( e 4 ), ( e3 )  b1 b2 b3 b4   0 1 1 0  c1 c2 c3 c 4  0 0 1 1mà f(e1)=(1,0,0)=a1e’1+b1e’2+c1e’3 ta tìm được (a1,b1,c1)=(1,0,0) f(e2)=(1,1,0) (a2,b2,c2)=(1,1,0) f(e3)=(0,1,1) (a3,b3,c3)=(0,1,1) f(e4)=(0,0,1) (a4,b4,c4)=(0,0,1)  Xác định Imf,Kerf  Kerf ={ x  R4 : f(x)=0 }  x1   x 4  x1  x 2  0 x  xTa được hệ  x 2  x3  0   2 4 hệ có nghiệm tổng quát là (-a,a,-a,a)  x  x  0  x3   x 4  3 4  x 4  RHệ nghiệm cơ bản là (-1,1,-1,1)Vậy dimKerf=1, cơ sở của Kerf =(-1,1,-1,1)  Tìm ImfTa có f(e1)=(1,0,0),f(e2)=(1,1,0), f(e3)=(0,1,1),f(e4)=(0,0,1)Nên Imf=Ta có1 0 0 1 0 01 1  0 0 1 0  ...  0 1 1 0 0 1   0 0 1 0 0 0 2 Luyện giải đề thi cao học môn đại sốvậy cơ sở của Imf là f(e1),f(e2),f(e3) và dimf=3b.Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trìnhmx1  x 2  x3  x 4  1 x1  mx2  x3  x 4  1 x  x  mx  x  1 1 2 3 4Giải : lập ma trận các hệ số m 1 1 1 . 1 1 1 m 1 . 1  1 1 m 1 . 1      A   1 m 1 1 . 1   1 m 1 1 . 1.  ...  0 m  1 1 m 0 . 0   1 1 m 1 . 1 m 1 1 1 . 1  0 0 2  m  m 2 1  m . 1  m (1  m)(2  m) x3  (1  m) x 4  1  m vậy ta được (m  1) x 2  (1  m) x3  0  x  x  mx  x  1  1 2 3 4Biện luận:Với m=1 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số x2,x3,x4nghiệm của hệ là (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c  Rvới m=-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x3nghiệm của hệ là (a,a,a,1) a Rvới m khác 1,-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x4 và m  1 a x  m  2  x  1  a  nghiệm của hệ là  m  2 a R  1 a x   m2  x  aBài 3: Cho chuỗi luỹ thừa  (1) n 1 ( x  2) nn 1 n.2 n a. Tìm miền hội tụ của chuỗi 3 Luyện giải đề thi cao học môn đại số b. Tính tổng của chuỗiGiải: (1) n 1 ( x  2) n a. ta có U n ( x)  n.2 n 1 x2 x2tính lim n U n ( x)  lim n .  C n  n  n 2 2theo tiêu chuẩn côsi nếu chuổi hội tụ khi C0 và f ( x, y )   x  y2  a 0 ,x  y  0 Tuỳ theo giá trị của a>0 xét sự khả vi của f tại (0,0), sự liên tục của f’ x,f’ y tại (0,0)Giải : Tính các đhr  tại x2+y2>0 1 2x 3 1 f x  2 x sin  cos (x  y ) 2 2 a ...