Luyện thi Đại học - Chuyên đề Cực trị hàm số

Để xác định được điểm cực trị hàm số (điểm cực tiểu, điểm cực đại) các em cần nắm chắc những định lí về hàm số. Tài liệu Luyện thi Đại học - Chuyên đề Cực trị hàm số sau đây sẽ giúp cho các em học sinh nắm chắc được kĩ năng tìm cực trị hàm số, và chuẩn bị có kì thi Đại học - Cao đẳng sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi Đại học - Chuyên đề Cực trị hàm sốDiendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C C C TR HÀM SĐ nh nghĩa: Hàm s f (x) xác đ nh trên D ⊆ R Đi m xo ∈ D đư c g i là đi m c c đ i c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a; b) ⊂ D saocho xo ∈ (a; b) và f (xo ) > f (x) , ∀x ∈ (a, b) {xo }Đi m x1 ∈ D đư c g i là đi m c c ti u c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a; b) ⊂ D sao chox1 ∈ (a; b) và f (x1 ) < f (x) , ∀x ∈ (a, b) {xo } Cách xác đ nh đi m c c tr c a hàm s :Đ xác đ nh đư c các đi m c c đ i, c c ti u c a hàm s các em c n n m ch c ba đ nh lí sau: Đ nh lý 1: (Đi u ki n c n đ hàm s có c c tr ) N u hàm s f (x) đ t c c tr t i đi m xo và hàm s có đ o hàm t i xo , thì f (xo ) = 0(Tuy nhiên hàm s có th đ t c c tr t i m t đi m mà t i đó hàm s không có đ o hàm, ch ng h nv i hàm y = |x|, đ i c c tr t i xo = 0 nhưng không có đ o hàm t i đó) Đ nh lí 2: (Đi u ki n đ đ hàm s có c c tr ) - N u f (x) < 0, ∀x ∈ (a, xo ) và f (x) > 0, ∀x ∈ (xo ; b) thì f (x) đ t c c ti u t i xo (Đ o hàm đ id u t âm sang dương khi qua xo ) x a x b y − 0 + y yCTTa nói, đ th hàm s có đi m c c ti u là M (xo , yCT )- N u f (x) > 0, ∀x ∈ (a, xo ) và f (x) < 0, ∀x ∈ (xo ; b) thì f (x) đ t c c đ i t i xo(Đ o hàm đ i d u t dương sang âm khi qua xo ) x a x b y + 0 − yCD yTa nói đ th hàm s có đi m c c đ i là M (xo ; yCD )Chú ý: Không c n xét hàm s f (x) có hay không đ o hàm t i xoVí d : Hàm s : −x N u x ∈ (−∞; 0) −1 < 0 N u x ∈ (−∞; 0) y = |x| = ⇒y = x N u x ∈ (0; +∞) 1 > 0 N u x ∈ [0; +∞)Nên hàm s đ t c c ti u t i xo = 0. Đ nh lí 3: - N u f (xo ) = 0 và f (xo ) > 0 thì f (x) đ t c c ti u t i xo- N u f (xo ) = 0 và f (xo ) < 0 thì f (x) đ t c c đ i t i xoT đó các em có cách xác đ nh c c tr như sau:Bư c 1: Tính đ o hàm y , tìm nh ng đi m mà t i đó y = 0 ho c y không xác đ nh Page 1Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H CBư c 2:Cách 1: Xét d u y’ d a vào đ nh lí 2 đ k t lu n đi m c c đ i, c c ti u (Thư ng dùng cách này)Cách 2: Xét d u y (xo ) (xo là nghi m c a y’) d a vào đ nh lí 3 đ k t lu nChú ý: Hàm s phân th c b c nh t trên b c nh t ax + b ad − bc y= ⇒y = cx + d (cx + d)2D u c a đ o hàm không ph thu c vào x, hay đ c l p v i x nên hàm s luôn đ ng bi n ho c luônngh ch bi n trên các kho ng xác đ nh c a nó. Do đó hàm s luôn không có c c tr .B – Gi i toánI - Bài toán c c tr v i hàm đa th c b c ba:Ki n th c b sung: y = ax3 + bx3 + cx + d (C) ⇒ y = 3ax2 + 2bx + c (a = 0) S lư ng đi m c c tr : - N u y’ = 0 có hai nghi m phân bi t (∆ > 0) thì hàm s có hai c c tr (m t c c đ i và m t c cti u)- N u y’ = 0 có nghi m kép ho c vô nghi m (∆ ≤ 0) thì hàm s không có c c tr .Như v y khi đ bài h i các câu h i như: Tìm m đ hàm s có c c tr ho c có hai đi m c c tr ho ccó m t đi m c c đ i và m t đi m c c ti u. . . thì đi u ki n tương đương đ u là y’ = 0 có hai nghi mphân bi t. Đư ng th ng qua hai đi m c c tr Trong trư ng h p hàm s có hai đi m c c tr , ta vi t đư c đư ng th ng đi qua hai đi m c c trnhư sau:Bư c 1: Th c hi n phép chia đa th c: y = ax3 + bx3 + cx + d cho y = 3ax2 + 2bx + c đư c thươnglà q (x) và ph n dư là r (x) = mx + n, ta đư c: y = y .q (x) + r (x)Bư c 2: Ch ng minh đư ng th ng (d) : y = r (x) = mx + n là đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr .Gi s hai đi m c c tr là M (x1 ; y1 ) , N (x2 , y2 ) (Chú ý: x1 , x2 là nghi m c a y nên y (x1 ) = y (x2 ) =0)Khi đó M, N thu c (C), do đó: y1 = y (x1 ) .q (x1 ) + r (x1 ) = r (x1 ) ⇒ y1 = mx1 + n ⇒ M ∈ (d) y2 = y (x2 ) .q (x2 ) + r (x2 ) = r (x2 ) ⇒ y2 = mx2 + n ⇒ N ∈ (d)T c là (d) là đư ng th ng đi qua hai c c tr .Chú ý: Trong m t s trư ng h p đ c bi t y’ = 0 có nghi m đ p t c là có th tìm c th t a đcác đi m c c tr thì không nên máy móc vi t phương trình các đi m c c tr như trên mà n u c n thì Page 2Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H Cta s d ng cách vi t phương ...