Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Góc giữa hai đường thẳng (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Góc giữa hai đường thẳng (phần 1)" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Góc giữa hai đường thẳng (phần 1) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa h c LT H môn Toán – Th yng Vi t HùngFacebook: LyHung9501. GÓC GI A HAITh yƯ NG TH NG – P1ng Vi t HùngI. TÍCH VÔ HƯ NG C A HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN1) Góc gi a hai véc tơ  AB = u  Gi s ta có   u; v = AB; AC = BAC , v i 0o ≤ BAC ≤ 180o. →  AC = v  2) Tích vô hư ng c a hai véc tơ  AB = u  Gi s ta có   u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC →  AC = v  Nh n xét: u = 0 +) Khi   u.v = 0 → v = 0 ( ) ()()( ) +) Khi u ↑↓ v  ( u; v ) = 180 →+) Khi u ↑↑ v  u; v = 00 → +) Khi u ⊥ v ← u.v = 0 →0Ví d 1. Cho t di nu ABCD c nh a.a) Tính góc gi a hai véc tơ AB; BC . b) G i I là trung i m c a AB. Tính góc gi a hai véc tơ CI ; AC . Hư ng d n gi i: a) S d ng công th c tính góc gi a hai véc tơ ta ư c AB. BC AB. BC AB. BC cos AB; BC = = = , (1) . AB.BC a2 AB . BC()()()Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. ACAB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2Mà()()AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 =  AB. BC = −a 2 + →()a2 2a2 a2 =− . 2 2 2 a − 1 2 → (1) ⇔ cos AB; BC = 2 = −  AB; BC = 1200. 2 a V y AB; BC = 120o.(())()b) Ta có cos CI ; AC =()CI . AC CI . AC=CI . AC CI . AC u ABC nên CI =T di n ABCDu c nh a, CI là trung tuy n c a tam giácTa có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC Do ∆ABC u nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0.()a 3 CI . AC  cos CI ; AC = 2 → , ( 2). 2 a 3 2()Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vnt ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!Khóa h c LT H môn Toán – Th yng Vi t HùngFacebook: LyHung95a 3 a 3 3a 2 3a 2 3a 2 . .cos1800 = −  CI . AC = 0 − → =− . 2 2 4 4 4 3a 2 − 3  CI ; AC = 1500. → Thay vào (2) ta ư c ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = − 2 a 3 2 0 V y CI ; AC = 150 .ng th i, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC =()()()()Ví d 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC ôi m t vuông góc và SA = SB = SC = a. G i M là trung i m c a AB. a) Bi u di n các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC . b) Tính góc SM ; BC . Hư ng d n gi i: a) S d ng quy t c trung tuy n và quy t c tr hai véc tơ ta 1    SA + SB = 2SM  SM = SA + SB 2 ư c ←  →  BC = BS + SC  BC = SC − SB  ()()b) cos SM ; BC =()SM . BC SM . BC=SM . BC , (1) . SM .BC SA.SB = 0   Mà SA, SB, SC ôi m t vuông góc nên  SA.SC = 0   SB.SC = 0  Tam giác SAB và SBC vuông t i S nên theo nh lý Pitago ta  BC = a 2  ư c AB = BC = a 2   → 1 a 2  SM = AB =  2 2  1 1 1 a2 Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB 2 = − 2 2 0 2 2 0 0  a2 − SM . BC 1 2 Thay vào (1) ta ư c cos SM ; BC = = = −  SM ; BC = 1200. → SM .BC a 2 2 .a 2 2()()()()II. GÓC GI A HAIƯ NG TH NG1) Khái ni m véc tơ ch phương c a ư ng th ng M t véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song ho c trùng v i d ư c g i là véc tơ ch phương c a ư ng th ng d. 2) Góc gi a hai ư ng th ng Khái ni m:Góc gi a hai ư ng th ng a và b là góc gi a hai ư ng th ng a′; b′ l n lư t song song v i a; b. Kí hi u ( a;b ). T nh nghĩa ta có sơ Nh n xét:a// a ′  ( a;b ) = ( a ′;b′ ) →   b// b′+ Gi s a, b có véc tơ ch phương tương ng là u; v và u; v = φ.Khi ó,( )( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180ot ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!+ N u a // b ho c a ≡ b thì ( a; b ) = 0o.Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vnKhóa h c LT H môn Toán – Th y Các xácng Vi t HùngFacebook: LyHung95nh góc gi a hai ư ng th ng: Phương án 2- L y m t i m O b t kì thu c a - Qua O, d ng ư ng ∆ // b  ( a, b ) = ( a, ∆ ) →Phương án 1 (s d ng nh nghĩa) a ′// a T o ra các ư ng   ( a, b ) = ( a ′, b′ ) →  b′// b Chú ý: Các phương pháp tính toán góc gi a hai ư ng th ng:N u góc thu c tam giác vuông thì dùng các công th c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot. N u góc thu c tam giác thư ng thì s d ng nh lý hàm s cosin trong tam giác ABC:b2 + c 2 − a 2 . 2bca 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  cos A = →Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông t i A. Bi t SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc gi a các ư ng th ng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. Hư ng d n gi i: a) Tính góc gi a SD và BC xác nh góc gi a hai ư ng th ng SD và BC ta s d ng phương án 2, tìm ư ng th ng song song v i m t trong hai ư ng th ng SD, BC và song song v i m t ư ng còn l i. Ta d nh n th y AD // BC. SDA Khi ó ( SD; BC ) = ( SD; AD ) =  180o − SDA Xét ∆SAD: tan SDA = SA 3 =  SDA = 30o. → AD 3V y ( SD; BC ) = 30o. b) Tính góc gi a SB và CD SBA Tương t , CD//AB  ( SB;CD ) = ( SB;AB ) =  → 180o − SBA  SA Xét ∆SAB: tanSBA = = 3  SDA = 60o. → ABV y ( SB;CD ) = 60o. c) Tính góc gi a SC và BD G i O là tâm c a hình ch nh t ABCD, I là trung i m c a SA.  IOB Trong ∆SAC có OI // SC  ( SC; BD ) = ( OI; BD ) =  → 180o − IOB  Áp d nga 3 a 7 2 nh lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =   2  +a = 2   2 2 2ABCD là hình ch nh t nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10  OB = →2a 10 = OA 22Áp d ng a 3   a 10  a 13 nh lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =   2  + 2  = 2       2 2Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vnt ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!Khóa h c LT H môn Toán – Th yng Vi t Hùng2 2 2Facebook: LyHung9513a 2 10a 2 7a 2 + − OI + OB − IB 4 4 = 8 Khi ó, theo nh lý hàm s cosin cho ∆IOB ta ư c: cos IOB = = 4 2.OI.OB a 13 a 10 130 2. . 2 2  8   IOB = arccos  →  = ( SC;BD ).  130  8  V y ( SC;BD ) = arccos  .  130 Ví d 2. Cho t di n ABCD, g i M, N là trung i m c a BC, AD. Bi t AB = CD ...