Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 1 - Nguyễn Vinh Quang

(NB) Phần 1 Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt) trình bày về lý thuyết độ đo, trong đó sinh viên sẽ được học các khái niệm tập hợp, đại số và ơ - đại số, hàm tập và độ đo. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 1 - Nguyễn Vinh QuangMATHEDUCARE.COM TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC YZ NGUYEÃN VINH QUANG LYÙ THUYEÁT ÑOÄ ÑO VAØ TÍCH PHAÂN (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Y Ñaø Laït 2008 ZMATHEDUCARE.COM Môc lôc 1 §é ®o 2 1.1 TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 §¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Hµm tËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ . . . . 13 1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 TÝch ph©n Lebesgue 24 2.1 Hµm ®o ®−îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 TÝch ph©n Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 matheducare.comMATHEDUCARE.COM Ch−¬ng 1 §é ®o 1.1 TËp hîp 1.1.1 C¸c kh¸i niÖm Gi¶ sö kh«ng gian Ω = ∅. PhÇn tö: Nh÷ng ®iÓm thuéc Ω ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña Ω. Ký hiÖu: ω, ω1 , ω2 , . . . , ωn ∈ Ω. TËp con: A ®−îc gäi lµ tËp con cña Ω. Ký hiÖu: A ⊂ Ω ⇔ ∀ω ∈ A ⇒ ω ∈ Ω. TËp b»ng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B, B ⊂ A. Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ tËp hîp gäi lµ líp c¸c tËp. Ký hiÖu: A, B, C, . . . D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp. Ký hiÖu: {An }n∈N , {Bn }n∈N , . . . 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 1.Hîp C = A ∪ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A hay ω ∈ B}. ∞ C= An := {ω ∈ Ω : ∃ n0 ∈ N, ω ∈ An0 }. n=1 2.Giao A ∩ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ B}. ∞ An := {ω ∈ Ω : ω ∈ An , ∀n}. n=0 ...