LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 2

Tham khảo tài liệu lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn - chương 2, khoa học tự nhiên, địa lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 2 Ch−¬ng 2: Hμm ngÉu nhiªn vμ c¸c ®Æc tr−ng cña chóng2.1. §Þnh nghÜa hμm ngÉu nhiªn §¹i l−îng ngÉu nhiªn lμ ®¹i l−îng mμ khi tiÕn hμnh mét lo¹t c¸c phÐp thö trongcïng nh÷ng ®iÒu kiÖn nh− nhau cã thÓ mçi lÇn nhËn ®−îc gi¸ trÞ nμy hay gi¸ trÞ kh¸ckh«ng biÕt tr−íc ®−îc cô thÓ. Gi¶ thiÕt r»ng, kÕt qu¶ thÝ nghiÖm kh«ng ph¶i lμ mét sè mμ lμ mét hμm nμo ®ã cñamét hay nhiÒu ®èi sè. Mét hμm mμ kÕt qu¶ cña mçi lÇn thÝ nghiÖm ®−îc tiÕn hμnh trongnh÷ng ®iÒu kiÖn nh− nhau, cã thÓ cã c¸c d¹ng kh¸c nhau, kh«ng biÕt tr−íc ®−îc cô thÓ,®−îc gäi lμ hμm ngÉu nhiªn. Khi ®ã hμm kh«ng ngÉu nhiªn thu ®−îc do kÕt qu¶ cña mçithÝ nghiÖm ®−îc gäi lμ thÓ hiÖn cña hμm ngÉu nhiªn. Víi mçi lÇn lÆp l¹i thÝ nghiÖm tanhËn ®−îc mét thÓ hiÖn míi. Nh− vËy cã thÓ xem hμm ngÉu nhiªn nh− lμ tËp tÊt c¶ c¸cthÓ hiÖn cña nã. C¸ch tiÕp cËn thèng kª nh− vËy rÊt thuËn lîi khi nghiªn cøu nhiÒu qu¸tr×nh vËt lý, kü thuËt, sinh häc v.v... §Æc biÖt, kh¸i niÖm hμm ngÉu nhiªn ph¶n ¸nh rÊttèt thùc chÊt cña c¸c qu¸ tr×nh khÝ t−îng thuû v¨n. TÝnh chÊt ®Æc tr−ng cña khÝ quyÓn lμ chuyÓn ®éng rèi nhiÔu lo¹n g©y nªn sù biÕn®éng m¹nh cña c¸c yÕu tè khÝ t−îng c¶ theo thêi gian lÉn kh«ng gian. C¸c xung rèi m¹nhx¶y ra c¶ trong c¸c qu¸ tr×nh qui m« lín còng nh− trong c¸c chuyÓn ®éng qui m« nhá. Sùtån t¹i cña rèi dÉn tíi chç nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu kh«ng cßn quy ®Þnh mét c¸ch ®Çy ®ñdiÔn biÕn cña qu¸ tr×nh, do ®ã c¸c thÝ nghiÖm tiÕn hμnh trong cïng nh÷ng ®iÒu kiÖn bªnngoμi nh− nhau sÏ dÉn ®Õn c¸c kÕt qu¶ kh¸c nhau. Gi¶ sö vμo cïng mét ngμy mét giê cña mçi n¨m trong mét kho¶ng thêi gian nμo ®ãta ®o nhiÖt ®é kh«ng khÝ t¹i mét ®iÓm cho tr−íc trong khÝ quyÓn. Víi mçi lÇn ®o nh− vËyta nhËn ®−îc nhiÖt ®é nh− lμ hμm cña thêi gian T(t). C¸c hμm nhËn ®−îc khi lÆp l¹i thÝnghiÖm sÏ kh¸c nhau. Mçi hμm Ti(t) nhËn ®−îc ë thÝ nghiÖm i cã thÓ ®−îc xem nh− métthÓ hiÖn riªng, cßn tËp tÊt c¶ c¸c hμm thu ®−îc cho chóng ta tËp hîp c¸c thÓ hiÖn quantr¾c cña hμm ngÉu nhiªn. T−¬ng tù, c¸c yÕu tè khÝ t−îng kh¸c - ¸p suÊt, c¸c thμnh phÇn cña vect¬ vËn tèc giã,v.v... còng cã thÓ ®−îc xem nh− lμ c¸c hμm ngÉu nhiªn cña thêi gian vμ to¹ ®é kh«nggian. Trªn h×nh 2.1 dÉn c¸c ®−êng cong phô thuéc vμo thêi gian cña thμnh phÇn vÜ h−íngvect¬ giã nhËn ®−îc theo c¸c sè liÖu quan tr¾c th¸m kh«ng. Tõng ®−êng cong trªn h×nh 2.1 lμ mét thÓ hiÖn cña hμm ngÉu nhiªn. NÕu cè ®Þnhthêi ®iÓm t=to vμ v¹ch mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi trôc hoμnh, th× nã sÏ c¾t mçi thÓhiÖn t¹i mét ®iÓm. C¸c ®iÓm giao lμ c¸c gi¸ trÞ cña mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn mμ ng−êi tagäi lμ l¸t c¾t cña hμm ngÉu nhiªn øng víi gi¸ trÞ cña ®èi sè t=to. XuÊt ph¸t tõ ®ã cã thÓ ®−a ra mét ®Þnh nghÜa kh¸c vÒ hμm ngÉu nhiªn: Hμm ngÉunhiªn cña ®èi sè t lμ hμm X(t) mμ gi¸ trÞ cña nã t¹i mçi trÞ sè cña ®èi sè t=to (mçi mét l¸tc¾t t−¬ng øng víi t=to) lμ mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Ta sÏ ký hiÖu hμm ngÉu nhiªnU (m/s)c¸c ch÷ c¸i lín kÌm theo ®èi sè X(t), b»ngY(t)..., cßn c¸c thÓ hiÖn cña nã lμ c¸c ch÷ c¸i nhá x1(t), x2(t)... víi c¸c chØ sè nªurâ lÇn thÝ nghiÖm mμ thÓ hiÖn trªn nhËn ®−îc. L¸t c¾t cña hμm ngÉu nhiªn t¹igi¸ trÞ ®èi sè to ®−îc ký hiÖu lμ X(to). 50 H×nh 2.1 §èi sè t cã thÓ nhËn mét gi¸ trÞ thùc bÊt kú trong kho¶ng h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®·cho, hoÆc chØ lμ c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c nhÊt ®Þnh. Trong tr−êng hîp thø nhÊt X(t) ®−îc gäi lμqu¸ tr×nh ngÉu nhiªn, cßn trong tr−êng hîp thø hai nã ®−îc gäi lμ d·y ngÉu nhiªn. ThuËt ng÷ hμm ngÉu nhiªn bao hμm c¶ hai kh¸i niÖm trªn. §èi sè cña hμm ngÉunhiªn kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lμ thêi gian. Ch¼ng h¹n, cã thÓ xÐt nhiÖt ®é kh«ng khÝ nh−lμ hμm ngÉu nhiªn cña ®é cao. Hμm ngÉu nhiªn cã thÓ phô thuéc kh«ng chØ vμo mét biÕnmμ cã thÓ vμi biÕn. Hμm ngÉu nhiªn cña vμi ®èi sè gäi lμ tr−êng ngÉu nhiªn. VÝ dô, trong khÝ t−îng häc ng−êi ta xÐt tr−êng nhiÖt ®é, tr−êng giã, tr−êng ¸p suÊt,tøc lμ nhiÖt ®é, ¸p suÊt hay vect¬ giã ®−îc xem nh− lμ hμm ngÉu nhiªn cña 4 ®èi sè: 3 to¹®é kh«ng gian vμ thêi gian. Khi ®ã tr−êng ngÉu nhiªn cã thÓ v« h−íng nh− trong c¸ctr−êng hîp tr−êng nhiÖt ®é vμ tr−êng ¸p suÊt hoÆc tr−êng vÐc t¬ nh− tr−êng giã, khi mμmçi thÓ hiÖn cña nã lμ mét hμm vect¬. C¸c qu¸ tr×nh khÝ t−îng thuû v¨n lμ c¸c hμm cña ®èi sè liªn tôc, v× vËy chóng ta sÏkh«ng ®Ò cËp ®Õn lý thuyÕt cña chuçi ngÉu nhiªn, mμ chØ xÐt c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªncña mét ®èi sè liªn tôc vμ c¸c tr−êng ngÉu nhiªn nh− lμ hμm ngÉu nhiªn cña mét vμi ®èisè liªn tôc. Khi ®ã ta sÏ gäi qu¸ tr×nh mét chiÒu lμ hμm ngÉu nhiªn hay qu¸ tr×nh nhÉunhiªn, kh«ng ph©n biÖt gi÷a c¸c thuËt ng÷ ®ã.2.2. C¸c qui luËt ph©n bè qu¸ tr×nh nhÉu nhiªn Nh− ta ®· thÊy tr−íc ®©y, ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®−îc hoμn toμn x¸c ®Þnh nÕu biÕthμm ph©n bè cña nã F(x) = P(X Khi ®ã, mét c¸ch gÇn ®óng, qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn cã thÓ ®−îc ®Æc tr−ng bëi hμmph©n bè cña hÖ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn nhËn ®−îc. Fn(x1,x2,..,xn) = P(X1 Fn ( x i1 , x i2 ,..., x i n ; t i1 , t i2 ,..., t i n ) = Fn ( x1 , x 2 ,..., x n ; t 1 , t 2 ,..., t n ) (2.2.9) f n ( x i1 , x i2 ,..., x i n ; t i1 , t i2 ,..., t i n ) = f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; t 1 , t 2 ,..., t n ) (2.2.10) Nh− ®· chØ ra trong môc 1.7, tõ hμm ph©n bè vμ mËt ®é ph©n bè cña hÖ n ®¹i l−îngngÉu nhiªn cã thÓ nhËn ®−îc hμm ph©n bè cña mäi hÖ con cña nã. V× vËy, nÕu ®· biÕthμm ph©n bè hoÆc mËt ®é ph©n bè n chiÒu th× còng chÝnh lμ cho tr−íc tÊt c¶ c¸c hμmph©n bè vμ mËt ®é ph©n bè bËc thÊp h¬n. §Æc tr−ng hμm ngÉu nhiªn b»ng viÖc cho tr−íc c¸c qui luËt ph©n bè nhiÒu chiÒu,phÇn lín trong øng dông thùc tiÔn, lμ kh«ng thÓ, do tÝnh phøc t¹p cña viÖc x¸c ®Þnh thùcnghiÖm c¸c qui luËt ph©n bè nhiÒu chiÒu, còng nh− do sù cång kÒnh, khã kh¨n khi södông ®Ó gi¶i c¸c bμi to¸n øng dô ...