LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 4

Tham khảo tài liệu lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn - chương 4, khoa học tự nhiên, địa lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 4 Ch−¬ng 4: BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn dõng4.1. BiÕn ®æi hμm ngÉu nhiªn b»ng to¸n tö tuyÕn tÝnh Gi¶ sö hμm ϕ(t) nhËn ®−îc tõ hμm f(t) b»ng c¸ch thùc hiÖn mét sè phÐp to¸n nμo ®ãvμ L lμ ký hiÖu qui −íc c¸c phÐp to¸n nμy, tøc L lμ qui t¾c, theo ®ã hμm f(t) biÕn ®æithμnh ϕ(t). Trong to¸n häc, ng−êi ta gäi qui t¾c, theo nã mét tËp hμm ®−îc ¸nh x¹ sangmét tËp hîp hμm kh¸c lμ to¸n tö. Ta sÏ nãi r»ng, hμm ϕ(t) lμ kÕt qu¶ t¸c dông to¸n tö Llªn hμm f(t), tøc lμ ϕ (t ) = L{ f (t )} . (4.1.1) Trong kü thuËt v« tuyÕn vμ c¸c øng dông kü thuËt kh¸c ng−êi ta th−êng gäi hμmf(t) lμ t¸c dông lèi vμo, hμm ϕ(t) lμ tÝn hiÖu ra, cßn L to¸n tö cña hÖ lμm biÕn ®æi t¸c dônglèi vμo. To¸n tö L ®−îc gäi lμ tuyÕn tÝnh, nÕu nã tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: 1. L{cf (x )} = cL{ f (x )} (4.1.2)tøc lμ kÕt qu¶ t¸c dông to¸n tö lªn tÝch cña hμm f(t) vμ mét thõa sè kh«ng ®æi c b»ng tÝchcña thõa sè ®ã víi kÕt qu¶ t¸c dông to¸n tö ®ã lªn f(t). 2. L{ f1 (t ) + f 2 (t )} = L{ f1 (t )} + L{ f 2 (t )} (4.1.3)tøc lμ kÕt qu¶ t¸c dông to¸n tö lªn tæng hai hμm b»ng tæng kÕt qu¶ t¸c dông to¸n tö lªnmçi hμm riªng biÖt. To¸n tö kh«ng tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn gäi lμ to¸n tö phi tuyÕn. VÝ dô, to¸n tö vi ph©n lμ to¸n tö tuyÕn tÝnh, v× nã tho¶ m·n c¸c ®¼ng thøc d {cf1 (t )} = c d { f1 (t )} dt dt vμ d { f1 (t ) + f 2 (t )} = d { f1 (t )} + d { f 2 (t )}. dt dt dt To¸n tö lÊy tÝch ph©n lμ to¸n tö tuyÕn tÝnh. To¸n tö nhËn ®−îc khi t¸c dông liªntiÕp mét vμi to¸n tö tuyÕn tÝnh còng lμ to¸n tö tuyÕn tÝnh. To¸n tö lÊy kú väng to¸n häccña hμm ngÉu nhiªn lμ to¸n tö tuyÕn tÝnh. VÝ dô vÒ to¸n tö phi tuyÕn lμ phÐp to¸n n©ng lªn luü thõa, to¸n tö lÊy ph−¬ng saihμm ngÉu nhiªn. NÕu hμm ngÉu nhiªn Y(t) lμ kÕt qu¶ t¸c dông cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh L bÊt kúlªn hμm ngÉu nhiªn X(t) cã kú väng to¸n häc mx(t) vμ hμm t−¬ng quan Rx(t1,t2), tøc lμ Y (t ) = L{X (t )} (4.1.4)th× m y (t ) = L{mx (t )} (4.1.5) Ry (t1 , t2 ) = L(t1 )L(t 2 ){Rx (t1 , t2 )} (4.1.6)nghÜa lμ my(t) nhËn ®−îc b»ng c¸ch t¸c dông to¸n tö L lªn mx(t), Ry(t1,t2) nhËn ®−îc b»ngc¸ch t¸c dông hai lÇn to¸n tö L lªn hμm Rx(t1,t2), ®Çu tiªn theo ®èi sè thø nhÊt t1, sau ®ãtheo ®èi sè thø hai t2. 104 Thùc vËy, m y (t ) = M [L{X (t )}] (4.1.7) To¸n tö L t¸c dông lªn biÕn t, to¸n tö t×m kú väng to¸n häc tiÕn hμnh lÊy trungb×nh tung ®é cña hμm ngÉu nhiªn (khi cè ®Þnh t) theo tËp hîp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cña®¹i l−îng ngÉu nhiªn X(t), còng lμ to¸n tö tuyÕn tÝnh. V× vËy, cã thÓ ®æi chç trËt tù t¸cdông cña c¸c to¸n tö M vμ L cho nhau, tøc lμ my(t)= L{M[X(t)]}=L{mx(t)}, vμ ®iÒu ®ã ®·chøng minh cho ®¼ng thøc (4.1.5). TiÕp theo [ ][ ] R y (t1 , t 2 ) = M {Y (t1 ) − m y (t1 ) Y (t2 ) − m y (t2 ) }= [( )] )( = M L(t1 ) {X (t1 )} − L(t1 ) {mx (t1 )} L(t2 ) {X (t2 )} − L(t21 ){mx (t2 )} = [ = M L(t1 ) L(t2 ){[ X (t1 ) − mx (t1 )][X (t 2 ) − mx (t 2 )]} = = L(t1 ) L(t2 ){M [[ X (t1 ) − mx (t1 )][ X (t2 ) − mx (t 2 )]]} = L(t1 ) L(t 2 ){Rx (t1 , t2 )}. C¸c c«ng thøc ®· tr×nh bμy trong ch−¬ng 2 ®èi víi kú väng to¸n häc vμ hμm t−¬ngquan cña ®¹o hμm vμ tÝch ph©n cña hμm ngÉu nhiªn lμ c¸c tr−êng hîp riªng cña (4.1.5)vμ (4.1.6). ViÖc biÕt Dx(t) lμ ch−a ®ñ ®Ó nhËn ®−îc ph−¬ng sai Dy(t) cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªnY(t). Tr−íc hÕt cÇn ph¶i t×m hμm t−¬ng quan Ry(t1,t2) theo c«ng thøc (4.1.6), sau ®ã thÕvμo nã t1=t2=t. §Ó t×m c¸c ®Æc tr−ng cña hμm ngÉu nhiªn, lμ kÕt qu¶ t¸c dông to¸n tö phi tuyÕnlªn hμm ngÉu nhiªn X(t), th× biÕt mx(t) vμ Rx(t1,t2) còng ch−a ®ñ, v× trong tr−êng hîp nμyqui luËt ph©n bè cña hμm X(t) ®ãng mét vai trß quan träng. §èi víi c¸c to¸n tö phi tuyÕncã thÓ nhËn ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ t−¬ng ®èi ®¬n gi¶n chØ ë trong mét sè tr−êng hîp riªng. Trong tr−êng hîp t¸c dông to¸n tö tuyÕn tÝnh lªn hμm X(t) cã ...