Lý thuyết và bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

Tiếp nối phần 1, mời các bạn cùng tham khảo tiếp phần 2 Tài liệu sau đây. Trong mỗi chương có trình bày phần tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, các bài tập tự giải và cuối mỗi chương có phần hướng dẫn hoặc đáp số. Các bài tập được chọn từ dễ đến khó, có những bài tập mang tính lý thuyết và có những bài tập rèn luyện kỹ năng nhằm giúp sinh viên hiểu sâu thêm môn học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết và bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2 C - BAT TAP §1 KHONG GIAN VEC TO VA ANH XA TUYEN TINH 2.1. Cho ma tran X E in. ]K) 7 0, 6 )1 9H- X = (a,), A 1 = la cot tha j ca» ma tran X, =1,2, 1) a ) B,, B.,. , B„ la cite cot cUa ma tran X. X' Chang minh rang cite khong gian con rim R sinh boa Al, A„ va sinh bai 13 1 , , B„ trimg nhau, tit de suy ra rangX = rang(X. 2.2. Chang minh rang mei ma ran hang r d ou via dude duai clang tang cua r ma tran hang 2.3. Cho E 19 la hai K - khang gian vec to va u e Hom w (E, F). Cac vec tel x 1 , , x , thuoc Kern; y l , y, la nhang vec to brit k9 thuec E. Chang minh rang hai trong ha khang dinh sau keo theo khang dinh MEI ha. 1) lx,, , la cd sa can Ecru. 2) B(y,), u(ydl la cd sa cUa Imu. 3) K r , y s} la ed so ciia E. Tit do suy ra nen E hau han chieu thi dimE = dim(Keru) + dim(tmu). 96 2.4. a) GM sit E va Fla hai kheng gian vec to him han chieu tren truring IK, dimE = dimF = n. u e Hom K(E, F). Chung minh rang u don cgu khi va chi khi u town b) Neu vi du chUng to rang neeu E va F có so chieu vo han, menh da tren kfrong dung MM. 2.5. Cho a la mat ph6p thgbac n va u E End(C) xac dinh bar u(Z,, Za) = (Z.K0 , Zem •• • )- ;II) a) Hay tam ma tran A cim u trong co sa to nhien te r , &la C. It) Tim tat ca the ma trait B e Mat(n, giao hoan duple vdi A. 2.6. X6t kh8ng gian vec td E him han chigu tren truang K. a) GM s>i fe„ , e„) la mot co so cim E, a„ , a,, la nhiing vo hudng doi mat klMc nhau, u e End(E) the dinh bai u(ei) = ° ; e; = 1, , n). Chung minh rang nth v e End(E) ye u.v = v. d thi ton tai nhUng vo hudng p„...,j3„ sao cho v(ei) = [3;e;. b) ChUng minh rang nth to clang cgu tuygn tinh u giao hoan vdi moi to clang eau tuyeIn tinh tha E, thi t6n tai ve hitting E K u(x) = 7rx vdi moi x e E. ..2.7. Cho A =(aIii )e Mat(n, K); det(A) x 0; V la mat killing *4, vec to tren truang K va uj e End(V), j = 1, ..., n. Chting minh rang nth cac to deng cgu tuygn tinh vi = (i = 1, 2, n) giao hoan vat nhau, thi cac u3 cling giao hoan vdi nhau. 97 2.8. Gia sil A e Mat(n, R), detA # 0 va trong moi (long efn A co dung mot s6 khac khong, bang ± 1. Chung minh rang: a) Al = A-1 b) Co seta nhien m de Arl = A'. 2.9. Cho V la khong gian vac to Hen truing K va u End(V), x la vec to cria V them man IOW = 0 va u° 4 (x) # 0 v6 mat se' nguyen throng q nao do. Chimg minh rang he {x = u°(x) u(x), , 10-1 (x)} lap thanh mat he [lac lap tuygn tinh. 2.10. Gin sir) V la lit - khong gian vec to n chialt; f, g End(V), Id la anh xa clang nhdt cim V. Chung minh rang nei Id - g o f la clang cdu dm V thi fog - Id cling lA (tang cdu ciaa V. 2.11. a) Hai tu citing cdu u, v E EndK(V) duac goi la Worn during ngu c6 die dang cdu p, q cem V sao cho uep=q v Chung CO rang u va v taking during khi va chi khi chung NS cum hang. b) Tit a) suy ra rang nalu X E Mat(n, K), hang X = r, thi tar tai cac ma trnn khong suy bP6n P, Q e Mat(n, K) sao cho: 'Ir 0 I, 0 X = Q . .P a do la ma tran vuong cap n 0 0 00 , al gee tren b8n trai la ma trnn don vi h cap r. 2.12. a) Cho V a khong gian vac to n chigu tren trUang Ira u, v e End(V) sao cho u o v = 0. Chung minh rang hang(u) + hang(v) < n. 98 (^ri±ng 11111111 rang vo. mai hi ci6ng eau u e End(V) deu Ong cdu V e End(V) sao cho u 0 v = 0 va hang(u)+ hang(v) = n. 2.11 Cho E, F, G, H la cac khong gian vec td hitu Mtn cht4u men trodng K, u c Hom(F. 0), u ce hang r. Hay tim hang dm cac anh xa tuyeho t(nh sau: a) cp: Hom(E. F) —> Horn(E, G) uv b) di; Hom(G, H) —> Bom(F, H) F--> 0)01.1. 2.14. Cho E la khong gian vec to n chien, u, v e End(E) sao cho ran ...