Lý thuyết và bài tập ứng dụng cực trị hàm bậc ba

Hướng dẫn giải cực trị hàm bậc ba bao gồm phần lý thuyết và bài tập kèm theo đáp án giúp các bạn ôn tập kiến thức và có thêm tư liệu chuẩn bị ôn thi Đại học với kết quả tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết và bài tập ứng dụng cực trị hàm bậc ba CỰC TRỊ HÀM BẬC BAI.Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d ( a  0 ) 2.Đạo hàm : y  f ( x )  3ax 2  2bx  c 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y  f (x) có cực trị  y  f (x) có cực đại và cực tiểu  f ( x)  0 cóhai nghiệm phân biệt    b 2  3ac  0 . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bước1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ( x) ta có: 1 b 2 b  bc  f ( x)   x   f ( x)  c   x   d   3 9a  3 3a   9a  Tức là: f ( x)  q ( x). f ( x)  r ( x)  2 b bc  f ( x1)  0  y1  f ( x1)  r ( x1)  3 (c  3a ) x1  (d  9a )  Bước 2:Do  nên   f ( x 2)  0  y 2  f ( x 2)  r ( x 2)  2 (c  b ) x 2  (d  bc )   3 3a 9a.Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là: 2 b bc Y  r (x) hay y  (c  )  (d  ) 3 3a 9aII.Các dạng bài tập:Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:Bài tập: 1Bài 1:Tìm m để hàm số : y  x 3  mx 2  (m  6) x  (2m  1) có cực đại và cực tiểu 3Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình y ( x)  0 có hai nghiệm phânbiệt  x 2  2mx  (m  6)  0có hai nghiệm phânbiệt    m 2  m  6  0  (m  2)  (m  3)Bài 2:Tìm m để hàm số y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 có cực đại và cực tiểuGiải:Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình y ( x)  0 có hai nghiệm phânbiệt  3(m  2) x 2  6 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt m  2  0 m  2 2  2  3  m  2  1   3m  6m  9  0  m  2m  3  0 1Bài 3:Tìm m để hàm số y  x 3  (m  2) x 2  (5m  4) x  (m 2  1) đạt cực trị tại 3x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 1Bài 5: Tìm m để hàm số y  x 3  (m 2  m  2) x 2  (3m 2  1) x  (m  5) đạt cực tiểu 3tại x=2.Giải:*Điều kiện cần:Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra f (2)  0 ta có f ( x )  x 2  2(m 2  m  2) x  3m 2  1 suy ra  m 2  4m  3  0  m  1; m  3*Điều kiện đủ:Nếu m=3 thì f ( x)  2 x  16  f (2)  12  0  x CT  2Nếu m=1 thì f ( x)  2 x  4  f (2)  0 nhưng lúc đó ta có f ( x )  ( x  2) 2  0x Hàm số không có cực trị*Kết luận:m=3Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểuBài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu củahàm số f ( x)  x 3  3 x 2  6 x  8Giải:.Ta có f ( x )  3( x 2  2 x  2)  x1  1  3 f ( x)  0  g ( x)  x 2  2 x  2  0   x2  1  3 suy ra hàm số y  f (x) đạt cực trị tại x1,x2  g ( x1)  0.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f ( x)  g ( x)( x  1)  6( x  1) do   g ( x 2)  0   y1  f ( x1)  6( x1  1)  6 3nên   y 2  f ( x 2)  6( x 2  1)  6 3   f ( x1)  6 3  0  f ct  f ( x1)  6 3. f ( x)  6( x  1)       f ( x 2)  6 3  0   f cd  f ( x 2)  6 3 .Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là y  6( x  1)Bài 2:Tìm m để hàm số f ( x)  2 x 3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 có đường thẳngđi quaCĐ,CT song song với đường thẳng y  ax  bGiải:.Đạo hàm f ( x )  6( x 2  (m  1) x  m  2) f ( x )  0  g ( x )  x 2  (m  1) x  m  2  0hàm số có CĐ,CT  f ( x)  0hayg ( x)  0 có hai nghiệm phânbiệt   g  (m  3) 2  0  m  3.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta cóf ( x)  g ( x)[2 x  (m  1)]  (m  3) 2 x  (m 2  3m  3)Với m  3 thì g ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tạix1,x2  g ( x1)  0  y1  f ( x1)  (m  3) 2 x1  (m 2  3m  3)do  nên  ...