Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miền

Phương pháp chia miền đã được phát triển trong nhiều năm qua với mục đích chính là đưa ra phương pháp giải các bài toán biên trong miền hình học phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp bằng cách chuyển việc giải bài toán phức tạp về một số hữu hạn các bài toán đơn giản. Trong bài báo này, đề xuất các mô hình tính toán song song để giải các bài toán trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mô hình tính toán song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh dựa trên chia miềnTạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tínhMÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONGGIẢI BÀI TOÁN BIÊN HỖN HỢP MẠNH DỰA TRÊN CHIA MIỀNVũ Vinh Quang – Trương Hà Hải – Cao Thị Anh Thư (Khoa Công nghệ thông tin – ĐH Thái Nguyên)1. Phương pháp chia miền giải bài toán biên gián đoạn mạnhPhương pháp chia miền đã được phát triển trong nhiều năm qua với mục đích chính làđưa ra phương pháp giải các bài toán biên trong miền hình học phức tạp hoặc điều kiện biênphức tạp bằng cách chuyển việc giải bài toán phức tạp về một số hữu hạn các bài toán đơn giản.Với tư tưởng trên, nhiều tác giả đã nghiên cứu và đề xuất các phương pháp hiệu quả như:Phương pháp hiệu chỉnh hàm (Saito-Fujita [1,2]), phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm (DQuangAVVQuang [3,4,5,6,7]). Tuy nhiên, theo chúng tôi, trên thế giới chưa có công trình nào đưa ra kếtquả tìm nghiệm gần đúng của các bài toán biên với điều kiện biên rất phức tạp trên cơ sở chiamiền. Vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi đề xuất các mô hình tính toán song song để giải cácbài toán trên.Xét bài toánu f,x,u,x n,(1)nu,x n.Bài toán (1) được gọi là bài toán biên hỗn hợp mạnh vì trên biên dn gồm hai loạiđiều kiện biên Dirichlet và Neumann. Xuất phát từ tư tưởng chia miền, để giải quyết bài toántrên, ta chia miền(Hình 1), kí hiệu u1 là nghiệm trong miền12 bởi biên phân chia, u2 là nghiệm trong miền 2 . Khi đó để giải bài toán (1), điểm mấu chốt là cần xác địnhđược điều kiện trên biên phân chia . Sau đây ta xét cơ sở của hai phương pháp chia miền1.1. Phương pháp hiệu chỉnh hàm (Được đề xuất bởi Saito –Fujita, 2001)1Kí hiệu gu2 , khi đó giá trị g được xác định bởi sơ đồ lặp sau đây:Bước 1: Cho trước g ( 0 ) xác định trên L2Bước 2: Với g ( k ) xác định trên(k )2(k )2(k )2(k )2uuuun2f,,x(k )g ,x,x2n1)(1) g (k )u1( k ) , xd.Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị g ( kg (k(k = 0, 1, 2,…) tiến hành giải hai bài toán,2 x,, chẳng hạn g ( 0 ) = 0.1).,u1( k )(k )1un1u1( k )f,x(k )u2,xn2,x1,,1(2) ,theo công thức(3)Trên cơ sở của lí thuyết các không gian hàm và toán tử Steklov-Poincare trong [1,2] cáctác giả Saito –Fujita đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm (Được đề xuất bởi Đ.Q.A – V.V. Quang, 2004)1Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009u1n1Kí hiệu gToán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính, khi đó giá trị g được xác định bởi sơ đồ lặp sau đây:Bước 1: Cho trước g ( 0 ) xác định trên L2Bước 2: Với g ( k ) xác định trênu1( k )u1( k )n1u1( k )f,xg (k ) ,x,(k )2(k )2(k )2uuun2,x1 ,Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị g ( kg (k1)(1(k = 0, 1, 2,…) tiến hành giải hai bài toánu2( k )1,1)f,,(k )u1 ,xx,22, x,xn,(4).theo công thứcu2( k ),xn2) g (k ), chẳng hạn g ( 0 ) = 0.(5).trong đó là tham số lặp cần xác định.Trên cơ sở của lí thuyết các không gian hàm và toán tửSteklov-Poincare trong [3,4,5] các tác giả đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ.Có thể thấy rằng, hai phương pháp trên xuất phát từ hai tư tưởng hoàn toàn ngược nhau.Về mặt lí thuyết, việc chứng minh phương pháp nào hội tụ nhanh hơn là một bài toán khó, tuynhiên qua thực nghiệm có thể khẳng định phương pháp Đặng Quang Á - Vũ Vinh Quang hội tụcó phần nhanh hơn do việc hiệu chỉnh đạo hàm [8].2. Mô hình tính toán song song giải bài toán biên gián đoạn mạnhMục đích chính của phương pháp chia miền là đưa ra một phương pháp hữu hiệu để giảiquyết các bài toán phức tạp về miền hình học và điều kiện biên trong các mô hình thực tế, trongphần này chúng tôi sẽ trình bày các hướng đề xuất mô hình tính toán song song giải các bài toánbiên với điều kiện biên rất phức tạp trên cơ sở chia miền.Xét bài toán biên:uunuf,x,x,4, 2ix414243123,(6), (i 1..n),4, 2i, , (i 1..n).4, 2l 14, 2l4, 2l 12l 12l2l 1….1234, 2 n 1….2l 12l2l 12n 12nHình 21Trong đó f L, n là vectơ pháp tuyến ngoài của miền . Trên thế;H 2giới theo chúng tôi chưa có công trình nào đưa ra kết quả tìm nghiệm gần đúng của bài toán trên.Xuất phát từ các sơ đồ chia miền theo hướng hiệu chỉnh hàm và đạo hàm, trong phần này chúngtôi đề xuất các mô hình tính toán song song giải bài toán như sau:2.1. Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm22Tạp chí Khoa học & Công nghệ - số 2(50)/năm 2009Toán, Thống kê –KH tự nhiên –KH máy tính2n 1Chiabởi các biên phân chiaii( i 1..2n ) , (Hình 2).i 1Kí hiệu g 2iu2 in2i12i 1u2 in2i, g 2ibởi sơ đồ lặp sau đây:Bước 1: Xuất phát gi( 0 )2i, (i 1,2,...n) . Việc giải bài toán (6) được thực hiện0,i 1,2,...,2n .Bước 2: Tiến hành giải song song các bài toán trong các miền lẻu1( k )f,x1(k )1ug1( k ) ,xn1u1( k ...