Mô phỏng ba chiều linh kiện bán dẫn sử dụng thuật toán Bicgstab tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi cho lời giải phương trình Poisson

Bài viết Mô phỏng ba chiều linh kiện bán dẫn sử dụng thuật toán Bicgstab tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi cho lời giải phương trình Poisson trình bày: Kết quả mô phỏng ba chiều động lực học hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp sử dụng tiền điều kiện Jacobi vào thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện để giải phương trình Poisson,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mô phỏng ba chiều linh kiện bán dẫn sử dụng thuật toán Bicgstab tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi cho lời giải phương trình PoissonMÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪNSỬ DỤNG THUẬT TOÁN BICGSTAB TIỀN ĐIỀU KIỆNVỚI TIỀN ĐIỀU KIỆN JACOBICHO LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSONĐINH NHƯ THẢOTrường Đại học Sư phạm - Đại học HuếNGUYỄN TIẾN NGỌCTrường THPT Tây Trà - Quảng NgãiTóm tắt: Bài báo này trình bày các kết quả mô phỏng ba chiều động lựchọc hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp MonteCarlo tập hợp tự hợp sử dụng tiền điều kiện Jacobi vào thuật toánBICGSTAB tiền điều kiện để giải phương trình Poisson. Chúng tôi đãtính toán vận tốc trôi dạt của điện tử cũng như sự phân bố điện thếtrong linh kiện ứng với điện trường ngoài là 100 kV/cm và 150 kV/cm.Kết quả tính toán chỉ ra rằng thuật toán này không những cho kết quảtốt mà còn rút ngắn thời gian tính toán so với thuật toán BICGSTAB.1. GIỚI THIỆUViệc nghiên cứu các linh kiện bán dẫn na-nô có vai trò rất lớn để cải thiện hiệu quảvà tốc độ làm việc của các sản phẩm công nghệ cao. Ngày nay, với sự phát triển củaphương pháp mô phỏng, việc nghiên cứu các linh kiện bán dẫn này trở nên dễ dàngvà khả thi hơn so với phương pháp giải tích. Trong nhiều phương pháp mô phỏngđã được sử dụng, phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp với ưu điểm là tính ổnđịnh và độ chính xác cao nên sớm được quan tâm và sử dụng rộng rãi [1], [2], [4], [5].Mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều đã được thực hiện thành công trênnhiều linh kiện bán dẫn [2], [3]. Gần đây nhất, năm 2009, Lê Hoài Linh và TrầnThiện Lân đã mô phỏng khá thành công đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Tuy nhiên, việcsử dụng thuật toán BICGSTAB để giải phương trình Poisson trong các công trìnhnày có nhược điểm là thời gian tính toán dài, tốc độ hội tụ chậm và trong nhiềuTạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 04(16)/2010: tr. 34-41MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪN SỬ DỤNG THUẬT TOÁN...35trường hợp nghiệm không hội tụ. Để khắc phục những nhược điểm của thuật toánBICGSTAB, người ta đã đưa ra thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện [3], [5]. Trongcác tiền điều kiện đã được sử dụng thì tiền điều kiện Jacobi có ưu điểm là tốc độhội tụ nhanh và sử dụng đơn giản hơn [5]. Thuật toán này được kì vọng sẽ cải thiệnđáng kể tốc độ hội tụ và rút ngắn thời gian mô phỏng. Chúng tôi đã xây dựng mộtchương trình mô phỏng chạy trên máy tính cá nhân có cấu hình Intel(R) Pentium(R)Dual, CPU T2330 1.60GHz, 1GB DDR II với sai số 10−12 . Bộ công cụ mới này chokết quả tốt và thời gian mô phỏng cũng được rút ngắn đáng kể so với thuật toánBICGSTAB.2. MÔ PHỎNG MONTE CARLO TẬP HỢP TỰ HỢP BA CHIỀUPhương pháp mô phỏng Monte Carlo là phương pháp lặp đi lặp lại việc tính toánkiểu không tất định (nghĩa là kết quả thu được là như nhau bất kể chúng ta lặp lạiviệc tính toán bao nhiêu lần) và dùng một tập số ngẫu nhiên như các dữ liệu đầuvào. Phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều là sự kết hợp đồng thờiphương pháp Monte Carlo tập hợp với việc giải phương trình Poisson trong ba chiềukhông gian.Trong quá trình mô phỏng, việc giải phương trình Poisson ba chiều là công việc quantrọng nhất và cũng khó khăn nhất. Có nhiều phương pháp để giải phương trìnhPoisson, sau đây chúng tôi sẽ trình bày phương pháp sai phân hữu hạn. Phươngtrình Poisson cho vật liệu là đồng nhất có dạng:ρ∇2 ϕ = − ,s(1)với ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, s là hằng số điện môi của vật liệu.Trong trường hợp ba chiều phương trình trên được viết tường minh như sau:∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕρ++=−.∂x2∂y 2∂z 2s(2)Sau khi thực hiện phép sai phân hữu hạn, ta nhận được hệ phương trình sau (với i,j, k là các chỉ số chạy)ϕi−1,j,k − 2ϕi,j,k + ϕi+1,j,k ϕi,j−1,k − 2ϕi,j,k + ϕi,j+1,k+∆x2∆y 2ϕi,j,k−1 − 2ϕi,j,k + ϕi,j,k+1ρi,j,k=−.+2∆zs(3)36ĐINH NHƯ THẢO - NGUYỄN TIẾN NGỌCNếu ta chọn kích thước không gian mắt lưới đồng nhất: ∆x = ∆y = ∆z thì hệphương trình (3) trở thành:ϕi−1,j,k + ϕi,j−1,k + ϕi,j,k−1 − 6ϕi,j,k + ϕi,j,k+1 + ϕi+1,j,k + ϕi,j+1,k = −ρi,j,k∆x2 . (4)sHệ phương trình (4) là một hệ phương trình đại số tuyến tính và có thể được viếtlại dưới dạng một phương trình ma trận:Aϕ = b,(5)trong đó A là ma trận vuông cấp M N P × M N P , B và ϕ là các ma trận cột cấpM N P với M , N , P lần lượt là số điểm lưới theo các phương x, y, z.Như vậy, bằng phương pháp sai phân hữu hạn chúng ta đã biến đổi phương trìnhPoisson ba chiều thành một hệ phương trình đại số tuyến tính. Các phương trình nàysẽ được giải bằng thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi.Thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện được phát triển từ thuật toán BICGSTABnhằm tăng cường tốc độ hội tụ, theo đó giảm thời gian tính toán. Thuật toán nàygồm các bước sau [1], [7]:e1 = e1. Chọn xˆ1 , s1 bất kỳ; tính er1 = Aˆx1 − b và đặt ur1 , i = 1.2. Bắt đầu vòng lặp: trong khi chưa hội tụ nghiệm.ei- Tính uˆ từ Pˆu=ue i = Aˆ- Tính wu ...