Mở rộng các bài toán hình học euclid thành các bài toán hình học cầu và hình học lobachevsky - Một phương thức sáng tạo các bài toán mới

Trong bài báo này sẽ tìm hiểu các bài toán, các khái niệm, tính chất và so sánh chúng bằng cả ba thứ hình học. Đặc biệt, các bài toán, các khái niệm, tính chất đều được nhìn bằng ”con mắt” Euclid nên dễ hiểu, dễ tiếp nhận. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mở rộng các bài toán hình học euclid thành các bài toán hình học cầu và hình học lobachevsky - Một phương thức sáng tạo các bài toán mớiMỞ RỘNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC EUCLID THÀNH CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC CẦU VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY - MỘT PHƯƠNG THỨC SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI Nguyễn Ngọc Giang – TP Hồ Chí Minh TÓM TẮT Sáng tạo các bài toán mới luôn là niềm đam mê và đích tới của các nhà toán học. Tuy nhiên một câu hỏi luôn đặt ra là, làm thế nào để phát hiện được các bài toán mới? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần đến phương pháp phát triển và mở rộng các bài toán. Ở bậc đại học, chúng ta đã được học một trong các phương pháp như thế, đó là phương pháp afin-xạ ảnh. Tuy nhiên, phương pháp afin-xạ ảnh không phải là phương pháp duy nhất. Có một phương pháp còn hay hơn và hấp dẫn hơn phương pháp afin-xạ ảnh, đó là phương pháp mở rộng các bài toán hình học Euclid1 thành các bài toán hình học cầu và hình học Lobachevsky. Nội dung của phương pháp là đi tìm và chứng minh bài toán tổng quát của hình học Euclid trong hình học cầu và hình học Lobachevsky. Trong bài báo này chúng ta sẽ tìm hiểu các bài toán, các khái niệm, tính chất và so sánh chúng bằng cả ba thứ hình học. Đặc biệt, các bài toán, các khái niệm, tính chất đều được nhìn bằng ”con mắt” Euclid nên dễ hiểu, dễ tiếp nhận.1. So sánh hình học Euclid, hình học cầu và hình học LobachevskyTrong hình học cầu, bán kính cầu R cho ta biết một điều, bán kính R càng lớn thì hình học trongphạm vi đó càng gần hình học Euclid. Vì vậy bán kính mặt cầu R còn được gọi là bán kính cong. 1 1Người ta đã chứng minh được rằng 2 là độ cong toàn phần không đổi của mặt cầu và là R R2độ cong toàn phần của mặt phẳng Lobachevsky. Ta thêm dấu trừ để chỉ sự khác biệt với hìnhhọc Euclid. Hình học Lobachevsky diễn ra theo hướng ngược với hình học cầu so với hình họcEuclid. Hình học Euclid (hai chiều) là hình học trên một mặt phẳng có độ cong toàn phần bằngkhông. Như vậy, hình học Euclid là trường hợp giới hạn của hình học trên một mặt cầu (khiR ! 1/ và cũng là giới hạn của hình học trên một mặt cong có độ cong toàn phần âm không 1đổi (khi R ! 1/. R2Ta quy ước các khái niệm thông thường như đường thẳng, tam giác, tiếp tuyến, đường tròn, cung 1 Ghi chú: Thuật ngữ hình học Euclid trong tiếng Anh là Euclidean Geometry. Đôi chỗ vẫn có tài liệu ghi làEuclide thay vì Euclid. Ở đây, để thống nhất với hai bài viết trong cùng số Epsilon này, cũng như phù hợp với têntiếng Anh của nhà toán học lừng danh người Hy Lạp, chúng tôi chọn tên Euclid và hình học Euclid cho toàn bộ bàiviết. Chú thích của Ban Biên tập. 33 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015tròn . . . mà không nói gì thêm có nghĩa là các khái niệm này ở trong hình học Euclid. Ta quy ướccác khái niệm đường thẳng, đường tròn . . . trong hình học Lobachevsky sẽ có thêm kí hiệu L đikèm. Ví dụ đường thẳng L A, L AB có nghĩa là đường thẳng đi qua A, đường thẳng ABtrong hình học Lobachevsky, đường tròn L .OI OA/ là đường tròn tâm O bán kính OA tronghình học Lobachevsky. Đường thẳng, đường tròn, . . . trong hình học cầu sẽ có thêm kí hiệu S đikèm. Ví dụ đường thẳng S AB có nghĩa là đường ! thẳng AB !trong hình học cầu. Ta cũng quy AB AB AB AB AB ABước sin , tan lần lượt là sin S ; tan S ; sinh ; tanh lần lượt là R R R R R R ! ! AB ABsinh L ; tanh L . R RTa quy ước các mục 1.1, 2.1, 3.1, . . . , n.1, . . . là các khái niệm, định lí trong hình học Euclid;các mục 1.2, 2.2, 3.2, . . . , n.2, . . . là các khái niệm trong hình học cầu; các mục 1.3, 2.3, 3.3,. . . , n.3, . . . là các mục trong hình học Lobachevsky. Sau đây là các mục so sánh các khái niệm,tính chất, hệ thức, định lí cũng như cách dựng các đối tượng của ba thứ hình học Euclid, cầu vàLobachevsky [4]:1.1. Điểm.1.2. Điểm nằm trên mặt cầu.1.3. Điểm nằm phía trên trục-x cho trước.2.1. Điểm ở vô tận (trong mặt phẳng Euclid mở rộng).2.2. Không có gì tương ứng.2.3. Điểm thuộc trục-x.3.1. Không có gì tương ứng.3.2. Không có gì tương ứng.3.3. Điểm nằm phía dưới trục-x.4.1. Đường thẳng AB.4.2. Đường tròn lớn đi qua A; B là giao của mặt phẳng .OAB/ với mặt cầu chính là đườ ...