Một quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến dạng thương

Bài viết trình bày việc cải tiến quy tắc tìm cực trị thông thường, đưa ra được một quy tắc tìm cực trị với các công thức đơn giản hơn cho các hàm dạng thương có ý nghĩa thực tiễn trong việc giảng dạy phần lý thuyết cực trị của hàm hai biến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến dạng thươngCHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 MỘT QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN DẠNG THƯƠNG A RULE TO FIND THE EXTREMA OF THE QUOTIENT OF TWO-VARIABLE FUNCTIONS TS. HOÀNG VĂN HÙNG Viện Khoa học Cơ bản, Trường ĐHHH Việt NamTóm tắt: u ( x, y ) Giả sử z là hàm hai biến có tập xác định là miền mở khác rỗng D  R , các 2 v ( x, y ) hàm hai biến u( x, y), v( x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong miền D . Đặt : L( x, y,  )  u( x, y)  v( x, y) u 2 2v 2u 2v 2u 2v p  v 2 u 2 , q  v 2 u 2 , r  v u x x y y yx yx Tác giả chỉ ra rằng quy tắc thông thường tìm cực trị không điều kiện của hàm u ( x, y )z trên miền D được đưa về quy tắc dưới đây: v ( x, y ) Bước 1: Tìm tập các điểm dừng của hàm z bằng cách giải hệ sau:  L L    0;  0; L( x, y,  )  0, ( x, y)  D  ,  x y  trong đó, ( x*, y*) là một điểm dừng của z  *  R ( x*, y*, *) là một nghiệmcủa hệ trên. Bước 2: Giả sử ( x*, y*) là một điểm dừng của z , đặt: p*  p( x*, y*), q*  q( x*, y*), r*  r ( x*, y*),  *  r *2  p * q * . Nếu  *  0 , hàm z không có cực trị tại ( x*, y*) . Nếu  *  0 & p*  0 hoặc *  0 & q*  0 , hàm z đạt cực đại tại ( x*, y*) và zmax  z( x*, y*)   * . Nếu *  0 & p*  0 hoặc  *  0 & q*  0 , hàm z đạt cực tiểu tại ( x*, y*) vàzmin  z( x*, y*)   * .Abstract: u ( x, y ) Let z be a function of two variables whose domain of definition is an open v ( x, y )non-empty set D  R and u( x, y), v( x, y) be functions of two variables whose second partial 2derivatives are continuous over D . Put L( x, y,  )  u( x, y)  v( x, y) 2u 2v 2u 2v 2u 2v pv  u , q  v  u , r  v  u x 2 x 2 y 2 y 2 yx yx The author showed that the normal rule to find the unconditional extrema of the function u ( x, y )z in D can be reduced to the following rule: v ( x, y ) Step 1: Find the set of the stationary points of z by solving the system  L L    0;  0; L( x, y,  )  0, ( x, y)  D  ,  x y Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 111 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 where ( x*, y*) is a stationary point of z  *  R ( x*, y*, *) is a solution of theabove system. Step 2: Assume that ( x*, y*) is a stationary point of z . Put p*  p( x*, y*), q*  q( x*, y*), r*  r ( x*, y*),  *  r *2  p * q * If  *  0 the function z fails to have an extremum at ( x*, y*) . If  *  0 & p*  0 or *  0 & q*  0 the function z has one maximum at ( x*, y*) and zmax  z( x*, y*)   * . If *  0 & p*  0 or  *  0 & q*  0 the function z has one minimum at ( x*, y*) andzmin  z( x*, y*)   * .1. Đặt vấn đề u ( x, y ) Đạo hàm riêng của hàm số hai biến có dạng thương z là một biểu thức cồng v ( x, y )kềnh. Điều này gây khó khăn cho việc tìm cực trị (không điều kiện) của các hàm có dạng thương,do quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến khả vi đòi hỏi phải tính các đạo hàm riêng của chúng. Bởivậy, cải tiến quy tắc tìm cực trị thông thường, đưa ra được một quy tắc tìm cực trị với các côngthức đơn giản hơn cho các hàm dạng thương có ý nghĩa thực tiễn trong việc giảng dạy phần lýthuyết cực trị của hàm hai biến. Bài báo này dành cho vấn đề vừa nêu.2. Kết quả chính Dựa trên điều kiện cần và điều kiện đủ để một hàm hai biến khả vi liên tục đến cấp hai trênmiền mở D  R 2 có cực trị tại một điểm ( x*, y*)  D , tác giả chỉ ra rằng quy tắc thông thường u ( x, y )tìm cực trị không điều kiện của hàm z  trên miền D được đưa về quy tắc cho bởi định v ( x, y )lý sau: u ( x, y )2.1. Định lý: Giả sử z là hàm hai biến có tập xác định là miền mở khác rỗng D  R , 2 v ( x, y )các hàm hai biến u( x, y), v( x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong miền D . Đặt : L( x, y,  )  u( x, y)  v( x, y) 2u 2v 2u 2v 2u 2v p  v 2 u 2 , q  v 2 u 2 , r  v u x x y y yx yx u ( x, y ) Khi đó quy tắc thông thường tìm cực trị ...