Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán

3. Tìm các dao ñong bé c$a dây chiêu dài l ( 0 ≤ x ≤ ℓ ) v&i các mút gan chat nêu ? thNi ñiem ñâutiên dây ? trng thái yên nghU và mot ñon (a,b) c$a nó ( 0
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán M TS BÀI TOÁN BIÊN C A PHƯƠNG TRÌNH V T LÝ TOÁN Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên cho phương trình dao ñ ng§1. Bài toán dao ñ ng c a dây v i hai mút x = 0 và x = ℓ c t ch t1. Dao ñ ng t do c a dây v i hai mút x = 0 và x = ℓ c t ch t Phương trình dao ñ ng : utt = a 2uxx (0 < x < ℓ, t > 0) (1) u (0, t ) = u (ℓ, t ) = 0 ði u ki n biên : (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , ut ( x, 0) = ψ ( x) (3) ði u ki n ñ u :Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Thay bi u th c này vào X ( x) T (t )phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T (t ) = a 2 X ( x)T (t ) ⇒ = = −λ 2 . T ñó ta X ( x) a 2T (t )tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và T (t ) như sau : T (t ) + a 2 λ 2T (t ) = 0  (4)   X ( x) + λ X ( x) = 0 2 (5)  u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 ⇒ X (0) = 0T ñi u ki n biên (2) ta có : u (ℓ, t ) = X (ℓ)T (t ) = 0 ⇒ X (ℓ) = 0Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X ( x) = C1 cos λx + C2 sin λxT ñi u ki n X (0) = 0 ⇒ C1 = 0 ;T ñi u ki n X (ℓ) = 0 ⇒ λC2 sin λℓ = 0 ⇒ λℓ = nπ (n = 1, 2,..) . nπ nπxT ñó ta nh n ñư c : λ = λ n = (6) ; ch n C2 = 1 , ta ñư c : X n ( x) = sin (7) ℓ ℓKhi λ = λ n , phương trình (4) tr thành : T (t ) + a 2λ nT (t ) = 0 ; Nghi m t ng quát c a phương trình 2 nπat nπatnày có d ng : Tn (t ) = an cos aλ nt + bn sin aλ nt = an cos + bn sin (8). ℓ ℓNhư v y nghi m t ng quát c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) có d ng : ∞ nπat nπat  nπx  u ( x, t ) = ∑  an cos + bn sin  sin ℓ (9) n =1  ℓ ℓT ñi u ki n ñ u (3) và bi u th c (9) cho u ( x, t ) ta có : ∞ nπx u ( x, 0) = ∑ an sin = ϕ ( x) (10) ℓ n=1 ∞ nπa nπx ut ( x,0) = ∑ = ψ ( x) (11) bn sin ℓ ℓ n =0 ℓ nπx 2 an = ∫ ϕ( x)sinT (10) và (11) ta tìm ñư c : dx ℓ0 ℓ ℓ nπx 2 ∫ ψ( x)sin ℓ dx bn = nπa 0Thay các bi u th c tìm ñư c c a an , bn vào (9) ta nh n ñư c nghi m c a bài toán c n tìm .Các bài t p áp d ng :1. Tìm các dao ñ ng ngang c a dây g n ch t t i hai mút x = 0, x = ℓ , n u v n t c ban ñ u b ngkhông và d ng ban ñ u c a dây là m t cung parabol ñ i x ng v i ñư ng vuông góc qua trungñi m c a dây. 32h ∞ (2k + 1)πat (2k + 1)πx 1 ðS : u ( x, t ) = 3 ∑ cos sin π k =0 (2k + 1) 3 ℓ ℓ2. M t dây chi u dài ℓ ñư c g n ch t t i các mút x = 0, ...