Một số bất đẳng thức của các hàm hyperbolic

Các hàm hyperbolic có nhiều tính chất tương tự hoặc giống các tính chất của các hàm lượng giác, mặc dù chúng được định nghĩa như là những hàm mũ. Vì vậy, nhiều tài liệu còn gọi các hàm này là hàm lượng giác hyperbolic. Bài viết này giới thiệu một số bất đẳng thức của các hàm hyperbolic, nhằm gợi ý và làm cơ sở cho những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức của các hàm hyperbolic Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC HÀM HYPERBOLIC Nguyễn Văn Ngọc Đại học Thăng Long Tóm tắt nội dung Các hàm hyperbolic có nhiều tính chất tương tự hoặc giống các tính chất của các hàmlượng giác, mặc dù chúng được định nghĩa như là những hàm mũ. Vì vây, nhiều tài liệucòn gọi các hàm này là hàm lượng giác hyperbolic. Các hàm hyperbolic có nhiều ứng dụng trong giải tích Toán, đặc biệt là trong côngthức nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, trong phép tính tíchphân, trong Vật lý v.v.. Do nhu cầu về so sánh đánh giá các đại lượng chứa các hàm hyperbolic, phát sinh cácbất đẳng thức của các hàm hyperbolic, việc nghiên cứu các bất đẳng thức của các hàmhyperbolic được nhiều người quan tâm. Hiện nay đã có một số lượng đáng kể các côngtrình về bất đẳng thức của các hàm hyperbolic. Tuy nhiên, sách chuyên khảo về bất đẳngthức của các hàm hyperbolic chưa có nhiều, nhất là bằng tiếng Việt. Bài viết này giới thiệu một số bất đẳng thức của các hàm hyperbolic, nhằm gợi ý vàlàm cơ sở cho những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.1 Bổ trợ1.1 Các bất đẳng thức cơ bản của dãy số Trong mục này trình bày kiến thức bổ trợ về một số bất đẳng thức của dãy số để tiệnsử dụng sau này. Trong luận văn này xin trình bày lại một số bất đẳng thức đại số cơ bản nhất đó làbất đẳng thức AM − GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy -Schawrz, bất đẳng thức Chebyshev,...Định lý 1 (Bất đẳng thức AM - GM). Với n số thực không âm bất kì a1 , a2 , . . . , an , ta cóbất đẳng thức a1 + a2 + . . . + a n √ > n a1 .a2 . . . . .an . nĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an .Định lý 2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schawrz). Xét hai bộ số thực tùy ý a1 , a2 , · · · , an vàb1 , b2 , · · · , bn . Khi đó ta có ( a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 6 ( a21 + a22 + · · · + a2n )(b12 + b22 + · · · + bn2 ). 23 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 a1 a2 anĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = · · · = , (với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử b1 b2 bncũng bằng 0).Định lý 3 (Bất đẳng thức Holder). Cho a = ( a1 , a2 , ..., an ) và b = (b1 , b2 , ..., bn ) là hai bộ n 1 1số thực dương và p > 1, + = 1. Khi ấy p q ! 1p ! 1q n n n ∑ a i bi ≤ ∑ ∑ p q ai bi . (1.1) i =1 i =1 i =1 p qDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a p và bq tỉ lệ, nghĩa là ai = kbi với mọi i ∈{1, 2, , . . . , n}.Định lý 4 (Bất đẳng thức Minkovski cho dãy số thực). Cho a = ( a1 , a2 , ..., an ) và b =(b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Rn và p > 1. Khi ấy # 1p ! 1p ! 1p n n n ∑ ( a i + bi ) ∑ ∑ p p p ≤ ai + bi . (1.2) i =1 i =1 i =1Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a và b tỉ lệ, nghĩa là ai = kbi với mọi i ∈{1, 2, ..., n}1.2 Bất đẳng thức của các đại lượng trung bình Với a, b là các số dương, xét các biểu thức sau đây, được gọi là các đại lượng trungbình (xem ví dụ [2]).• Trung bình số học, hay trung bình cộng: ...