Phương pháp đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

"Phương pháp đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức" thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phạm Văn Dũng - Hoàng Thị Nhung THPT Chuyên Hưng Yên Cùng với các phương pháp quy nạp toán học, phương pháp phản chứng, phương phápsử dụng bất đẳng thức kinh điển thì phương pháp sử dụng đạo hàm cũng là một phần kiếnthức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như trong bất đẳng thức.Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là mộtphương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường.1 Kiến thức cơ bảnĐịnh lý 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ a, b].*) Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [ a, b] thì f ( x ) đồng biến trên [ a, b] và khi đó ta có min f ( x ) = f ( a); max f ( x ) = f (b) x ∈[ a,b] x ∈[ a,b]*) Nếu f ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ [ a; b] thì f ( x ) nghịch biến trên [ a; b] và khi đó ta có min f ( x ) = f (b); max f ( x ) = f ( a) x ∈[ a,b] x ∈[ a,b]Định lý 2 (Định lý Fermart). Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên một lân cận đủ bé củax0 ∈ [ a; b] và có đạo hàm tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực trị tại x0 thì f 0 ( x0 ) = 0.Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị). Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên [ a; b] và x0 .Trong một lân cận đủ bé ε của x0 , nếu f 0 ( x0 ) thay đổi dấu khi x qua x0 (có thể không tồn tại f 0 ( x0 ))thì f ( x ) đạt cực trị tại x0 .*) Nếu f 0 ( x ) < 0, ∀ x ∈ [ x0 − ε; x0 ] và f 0 ( x ) > 0, ∀ x ∈ [ x0 ; x0 + ε] thì x0 là điểm cực tiểu.*) Nếu f 0 ( x ) > 0, ∀ x ∈ [ x0 − ε; x0 ] và f 0 ( x ) < 0, ∀ x ∈ [ x0 ; x0 + ε] thì x0 là điểm cực đại.Định lý 4. Giả sử y = f ( x ) xác định trên [ a; b] và x0 ∈ [ a; b]. Trong một lân cận đủ bé ε của x0 ,hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời f 0 ( x0 ) = 0 và f 00 ( x ) 6= 0 thì x0 là một điểmcực trị của hàm số.*) Nếu f 0 ( x0 ) = 0 và f 00 ( x ) > 0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số.*) Nếu f 0 ( x0 = 0 và f ”( x ) < 0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số. 90 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017Định lý 5. Nếu f là hàm lồi trên đoạn [ a, b] thì ta có f ( x ) ≤ max { f ( a), f (b)} với mọi x ∈ [ a, b],hay nói một cách khác, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ a, b] sẽ đạt được tại hai đầu mút củađoạn [ a, b]. Tương tự, nếu f là hàm lõm trên đoạn [ a, b] thì giá trị nhỏ nhất của nó trên đoạn [ a, b]sẽ đạt được tại hai đầu mút của đoạn [ a, b].2 Ứng dụng đạo hàm trong bất đẳng thức và bài toán cực trị2.1 Bất đẳng thức một biến số. Dạng 1: Khảo sát trực tiếp hàm số để tìm tập giá trị của hàm số.Bài toán 1 (ĐHBK Hà Nội, 1997). Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìmgiá trị nhỏ nhất của hàm số r r x − sin A x − sin B f (x) = + −1 x − sin C x − sin CLời giải. Ta có A > B > C tức là sin A > sin B > sin C. (1) x − sin A    ≥0 Hàm số xác định khi và chỉ khi xx − sin C − sin B hay x < sin C hoặc x > sin A. (2)   ≥0 x − sin C Ta có r r sin A − sin C x − sin C sin B − sin C x − sin C f 0 (x) = 2 . + 2 . . 2( x − sin C ) x − sin A 2( x − sin C ) x − sin BDo (1) nên f 0 ( x ) > 0, ∀ x thỏa mãn (2). Ta có bảng biến thiên r sin A − sin BVậy min f ( x ) = f (sin A) = - 1. sin A − sin CChú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình √ √ ...