CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Trong toán học, bất đẳng thức được định nghĩa như sau: Bất đẳng thức là một phát biểu vềquan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. Đó là kết quả của phép so sánh hai đối tượng a và b vớinhau, nó được viết lại thành một trong các dạng sau: a b, a
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC WWW.ToanCapBa.Net §1.GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC1.1.ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨCTrong toán học, bất đẳng thức được định nghĩa như sau: Bất đẳng thức là một phát biểu vềquan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. Đó là kết quả của phép so sánh hai đối tượng a và b vớinhau, nó được viết lại thành một trong các dạng sau: a > b, a < b, a b, a b.Trong đó các kí hiệu >, là ‘lớn hơn’;+) < là ‘bé hơn’;+) là ‘lớn hơn hoặc bằng’;+) là ‘bé hơn hoặc bằng’; 1 1*Ví dụ: 1 < 2; > , x 2 0 ;……. Là các bất đẳng thức toán học. 2 3*Chú ý:-Ta có a > b khi và chỉ khi a – b là một số nguyên dương. Hai đại lượng a, b có thể là nhữngsố cụ thể hoặc là những biểu thức chứa biến.-Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến thì được gọi là Bất đẳng thức khôngđiều kiện . Còn nếu nó chỉ đúng với một số giá trị của biến thì được gọi là Bất đẳng thứccó điều kiện.1.2.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨCĐây là một phần rất quan trọng của bất đẳng thức.Bất đẳng thức gồm có những tính chất cơ bản như sau:1)Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bấtđẳng thức đã cho: a > b, c > d a + c > b + d2)Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bấtđẳng thức bị trừ.3)Tính chất đơn điệu của phép nhân:a)Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương: a > b, c > 0 ac > bcb)Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức:a > b, c > 0 ac < bc4)Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a > b 0, c > d 0 ac > bd5.Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:a > b > 0 an > bn; a>b an > bn với n lẻ |a| > |b| an > bn với n số chẵn6)So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dươngNếu m > n > 0 thì a > 1 am > an a = 1 am = an ; 0 < a < 1 am < an 1 WWW.ToanCapBa.Net Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC7)Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: 1 1 a > b, ab > 0 < a b8)Các hằng bất đẳng thức: a)Ngoài các hằng bất đẳng thức a2 0, -a2 0 còn có các hằng bất đẳng thức khác có liên quan đến giá trị tuyệt đối: b) |a| 0. Xảy ra đẳng thức khi a=0 |a| a. Xảy ra đẳng thức khi a 0 |a+b| |a| + |b|.Xảy ra đẳng thức khi ab 0 |a-b| |a| - |b|.Xảy ra đẳng thức khi ab 0 Chứng minh bất đẳng thức |a+b| |a| + |b|như sau: |a+b| |a| + |b| (1) � a 2 + 2ab + b 2 � 2 + 2 | ab | +b 2 (Vì hai vế của (1)không âm) a ab |ab| (2) Bất đẳng thức (2) đúng, vậy (1)đúng. Chứng minh bất đẳng thức|a-b| |a| - |b| (3) như sau: Nếu |a| 0 b a( a 2 + b2 ) ( x 2 + y 2 ) ( ax + by ) 2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)§2.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC1.1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGA)Kiến thức cần nhớ:Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức : A B (*) 2 Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨCTư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức (*) về một bất đẳng thứcphổ biến là đưa (*) về dạng:-Các tổng bình phương: A B � mX 2 + nY 2 + pZ 2 � Trong đó m, n, p là các số không âm. 0.-Tích các thừa số không dấu: A B ۳ X .Y 0 (X, Y cùng dấu).-Tích của một số không âm và một biểu thức dương(theo điều kiện) A B ۳ X 2 .Y 0-Xây dựng các bất đẳng thức từ điều kiện của bài toán: Nếu x, y, z [ a, b ] thì ta nghĩ ngayđến các bất đẳng thức hiển nhiên đúng:( x − a ) ( x − b ) 0, ( x − a ) ( y − a ) ( z − a ) 0, ( x − b ) ( y − b ) ( z − b ) 0 .Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ: Với mọi số thực a, b, c ta có: 2 2 2 ( )(- 4ab � a + b ) �2 a + b � ( a − b ) � . ( 0 2 )a 2 + b2 + c2 ab + bc + ca3 ( ab + bc + ca ) ( a + b + c) 3 ( a 2 + b2 + c2 ) 2Hai bất đẳng thức này tương đương với: 1 1 1 ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) 0 2 ...