Chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp so sánh giá trị của đồ thị lồi, lõm tại các điểm cực biên

Trong bài viết này trình bày chứng minh một số bất đẳng thức hay và khó, trong các kì thi học sinh giỏi bằng cách nhìn vào điểm mút của đồ thi lồi, lõm. Một hình ảnh trực quan sinh động mà mọi học sinh đều dễ dàng nhận thấy bằng hình học. Đặc biệt đồ thị của đoạn thẳng có thể xem là đồ thị lồi, cũng có thể xem là đồ thị lõm, sẽ được áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp so sánh giá trị của đồ thị lồi, lõm tại các điểm cực biên Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 C HỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC BẰNGPHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁ TRỊ CỦA ĐỒ THI LỒI , LÕM TẠI CÁC ĐIỂM CỰC BIÊN Nguyễn Văn Nhiệm Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Một trong những con đường hình thành nhận thức đó là “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng”, từ các ví dụ cụ thể đến khái niệm tổng quát. Trong bài viết này trình bày chứng minh một số bất đẳng thức hay và khó, trong các kì thi học sinh giỏi bằng cách nhìn vào điểm mút của đồ thi lồi, lõm. Một hình ảnh trực quan sinh động mà mọi học sinh đều dễ dàng nhận thấy bằng hình học. Đặc biệt đồ thị của đoạn thẳng có thể xem là đồ thị lồi, cũng có thể xem là đồ thị lõm, sẽ được áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức. 1 Lí thuyết Định lý 1.1. Nếu hàm số f ( x ) = ax + b thoả mãn f (α) ≥ 0 và f ( β) ≥ 0, (α < β) thì f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [α; β]. Chứng minh. Đồ thị của hàm số f ( x ) = ax + b là một đường thẳng, nên theo tính chất của đoạn thẳng: ”Nếu hai đầu mút của đoạn thẳng là hai điểm A(α, f (α)), B( β, f ( β)) ở phía trên trục hoành thì đoạn thẳng đó nằm phía trên trục hoành”. Định lý 1.2. Nếu f ( x ) = ax + b, thì min { f (α), f ( β)} ≤ f ( x ) ≤ max { f (α), f ( β)} , ∀ x ∈ [α, β]. Mở rộng: Định lý 1.3. i) Nếu f ( x ) là hàm lồi (đồ thị quay bề lõm lên phía trên) trên [α, β] thì f ( x ) ≤ max { f (α), f ( β)} , ∀ x ∈ [α, β]. ii) Nếu f ( x ) là hàm lõm (đồ thị quay bề lõm xuống phía dưới) trên [α, β] thì f ( x ) ≥ min { f (α), f ( β)} , ∀ x ∈ [α, β]. 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/20192 Áp dụngBài toán 2.1 (IMO -84). Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho x + y + z = 1. Chứng 7minh rằng 0 ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 27Cách giải. vì x, y, z ∈ [0; 1] ⇒ 2xyz ≤ xy + yz ⇒ xy + yz + zx − 2xyz ≥ xz ≥ 0. Dấuđẳng thức xảy ra khi hai số bằng 0 và một số bằng 1. 7 7 Đặt t = yz ⇒ xy + yz + zx − 2xyz − = (1 − 2x )t + x (1 − x ) − = f ( t ), 0 ≤ t ≤ 27 27 2(1 − x ) . 4 7 1 7 1 (1 − x )2 Ta có f (0) = x (1 − x ) − ≤ − = − < 0, và f = 27 4 27 108 4−54x3 + 27x2 + 1 ( x − 1/3)2 (6x + 1) = − ≤ 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 108 12 1z= . 3 20Bài toán 2.2. Cho a, b, c ∈ [0; 1], a + b + c = 2. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≥ 2abc + . 27 2 2 (2 − a )Cách giải. Giả sử a ≥ b ≥ c ⇒ 1 ≥ a ≥ . Đặt t = bc ⇒ 0 ≤ t ≤ . Bđt 3 4 20 20⇔ f (t) = (1 − 2a)t + a(2 − a) − ≥ 0. Ta có f (0) = − a2 + 2a − > 0 và f (t) = 27 27 2−54a3 + 135a2 − 108a + 28 −54( a − 32 ) ( a − 76 ) = ≥ 0. 108 108Bài toán 2.3. Cho a, b, c, d ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng a + b + c + d − abcd ≤ 3.Cách giải. Đặt f ( a, b, c, d) = a + b + c + d − abcd. Ta có f ( a, b, c, d) = a + b + c + d − abcd ≤ max { f (0, b, c, d), f (1, b, c, d)}. f (0, b, c, d) = b + c + d ≤ 3. f (1, b, c, d) = 1 + b + c + d − bcd ≤ max { f (1, 0, c, d), f (1, 1, c, d)} . Ta lại có f (1, 0, c, d) = 1 + c + d ≤ 3và f (1, 1, c, d) = 2 + c + d − cd = 3 − (1 − c)(1 − d) ≤ 3. Từ các kết quả trên ta có điều phải chứng minh.Bài toán 2.4 (Tổng quát). Cho x1 , x2 , . . . , xn ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng x1 + x2 + · · · + xn − x1 .x2 . . . ..xn ≤ n − 1.Bài toán 2.5. Cho a, b, c là ba số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 3( a2 + b2 + c2 ) + 4abc ≥ 13. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?Cách giải. Đặt f ( a, b, c) = 3( a2 + b2 + c2 ) + 4abc − 13 = 14 − 6( ab + bc + ca) + 4abc. Cách 1. Đặt (3 − a )2 0 ≤ t = bc ≤ = t0 4 ⇒ f ( a, b, c) = 14 − 6( ab + bc + ca) + 4abc = (4a − 6)t + 14 − 6a(3 − a) = g(t). Ta có ( a + 3 − a )2 1 g(0) = 14 − 6a(3 − a) ≥ 14 − 6. = >0 ...