Một số chuyên dề bài viết về hình học phẳng

Tài liệu Một số chuyên dề bài viết về hình học phẳng được biên soạn với các nội dung: Định LýCeva, định lýMenelaus, diện tích tam giác thủy túc, định lí Ptolemy. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số chuyên dề bài viết về hình học phẳngwww.laisac.page.tlMỘTSỐCHUYÊNĐỀ,BÀIVIẾTVỀHÌNHHỌCPHẲNGM S C U Ê Đ B V Ế V H N H P ẲỘH YỀ À IÌỌ H N(T pI VẬ DỤ GT NHCH T,ĐỊ HL NỔ TI NGTậ :V ND NG ÍN HẤ ,Đ NH ÝN IT ẾN )( ậpI: ẬN ỤN TÍ HC ẤT ỊN LÝ ỔI IẾ G)Cácchuyênđề,bàiviếtdướiđâydo laisacsưutầmtrênInternetrồibiênsoạn,cắtxénvàdánthànhhaifiletổnghợpvớimụcđíchphụgiúp(thờigiantìmkiếm)chocácemởđộituyểntrườngTHPTchuyênL.V.C.Vìkhôngliênhệđược trựctiếpvớicáctácgiảđểxinphép,mongthôngcảm!1. ĐịnhLýCevaChotamgiácABC.D,E,FlầnlượtnằmtrêncáccạnhBC,AC,AB.Chứngminhrằngcácmệnhđềsaulàtươngđương:1.1 AD,BE,CFđồngquytại mộtđiểm.1.2··sin · sin BCF sinCADABE..=1.···sin DAB sin EBC sinFCA1.3AE CD BF..=1.EC DB FAChứngminh:Chúngtasẽchứngminhrằng1.1dẫnđến1.2,1.2dẫnđến1.3,và1.3dẫnđến1.1.Giảsử1.1đúng.GọiPlàgiaođiểmcủaAD,BE,CF.TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácAPD,tacó:sin · sin· APABEABP==.(1)··sin DAB sinBAP BP·sinBCF BPTươngtự,tacũngcó:= ;(2)·sinEBC CP·sinCAD CP=.(3)·sinFCA APNhântừngvếcủa(1),(2),(3)tađược1.2.Giảsử1.2đúng.TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácABDvàtamgiácACDta·sin · AB sinCAD CDADB=;=.Dođó:·sin BAD DB sin· CAACD·sinCAD AB CD · ·0=.. BDA + ADC =180 (4)· CA DBsinBAD·sinBCF CA BFTươngtự,tacũngcó:=..(5)·sinFCA BC FAcó:()sin· BC AEABE=..(6)· AB ECsinEBCNhântừngvếcủa(4),(5), (6)tađược1.3.Giảsử1.3đúng,tagọi P = CF I BE , D1 = AP IBC .Theo1.1và1.2,tacó:CD CDAE CD BF AE CD BF. 1 .=..=1 hay: 1 =.Dođó:D ºD1.EC D1B FA EC DB FAD1B DBNhậnxét.VớiđịnhlýCeva,tacóthểchứngminhđượccácđườngtrungtuyến,đườngcao,đườngphângiáctrongcủatamgiácđồngquytạimộtđiểm.Cácđiểmđólầnlượtlàtrọngtâm(G),trựctâm(H),tâmđườngtrònnộitiếptamgiác(I).NếuđườngtrònnộitiếptamgiácABCcắtAB,BC,CAlầnlượtlàtạiF,D,E.Khiđó, tacó:AE=AF; BF=BD;CD=CF.BằngđịnhlýCeva,tachứngminhđượcAD,BE,CFđồngquytạimộtđiểm,điểmđógọilàđiểm Gergonne(Ge) củatamgiácABC(hìnhdưới).Lưuý:ĐịnhlýCevacóthểđượcsuyrộngbởinhữnggiaođiểmnằmngoàitam giácABC màkhôngnhấtthiếtphảinằmtrongnó.Vìvậy,cácđiểmD,E,FcóthểnằmngoàicáccạnhBC,CA,ABnhưhìnhbên.VídụsausẽchothấyrõtácdụngcủađịnhlýCeva.Bàitoán. [IMO2001ShortList]ChođiểmA1làtâmcủahìnhvuôngnội tiếptamgiácnhọnABCcóhaiđỉnhnằmtrêncạnhBC.CácđiểmB1,C1 cũnglầnlượtlàtâmcủacáchìnhvuôngnộitiếptamgiácABCvớimộtcạnhnằmtrên ACvàAB.ChứngminhrằngAA1,BB1,CC1 đồngquy.Lờigiải:GọiA2làgiaođiểmcủaAA1 vàBC.B2 vàC2 đượcxácđịnhtươngtự.Theođịnhlýhàmsố sin,ta có:··SA1 sinSAASAsinBAA12=hay 1 =0·µAA sinA1SAAA sin 45 +B11()0µ·TA1sinCAAAA sin 45 + C21Tươngtự:=hay=.Dođó, tađược:0·µAA sin 45 +CTAsinCAA211(())0µ·sinBAA2 sin 45 + C AA1 SA.=. 1 = 1.(1)0· sin 45 +BµTA1 AAsinCAA12(())Chứngminhhoàntoàntươngtự, ta cũngđược:0µ·sinBCC sin 45 + B2.= 1.(2)0sin· sin 45 +µACAA2()()µ) = 1.(3)sin· sin ( 45 + AABB.·µsinCBB sin ( 45 +C )0202Nhântừngvếcủa(1), (2), (3) kếthợpđịnhlýCevatađượcđiềucầnchứngminh.Bàitập ápdụng:1. QuacácđiểmAvàDnằmtrênđườngtròn kẻcácđườngtiếptuyến,chúngcắtnhautạiđiểmS.TrêncungADlấy cácđiểmA vàC. CácđườngthẳngACvàBDcắtnhautạiđiểmP, cácđườngthẳngABvàCDcắtnhautạiđiểmO.ChứngminhrằngđườngthẳngPQchứađiểmO.2. Trên cáccạnhcủatamgiácABCvềphía ngoàitadựngcáchinhvuông.A1,B1,C1, làtrungđiểm cáccạnh của các hìnhvuôngnằmđốinhauvới cáccạnhBC,CA,ABtươngứng.ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA1,BB1,CC1 đồngquy.3. Chứngminhcácđườngcao,đườngtrungtuyến,tâmđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếptamgiácđồngquy tạimộtđiểm.4. Trên cáccạnhBC,CA,ABcủatamgiácABClấycácđiểmA1,B1,C1 saochocácđườngthẳngAA1,BB1,CC1 đồngquy tạimộtđiểm.ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA2,BB2,CC2đốixứngvớicácđườngthẳngđó quacácđườngphângiáctươngứng,cũngđồngquy.2. ĐịnhLýMenelausChotamgiácABC.Cácđiểm H,F,GlầnlượtnằmtrênAB,BC,CA.Khiđó:M,N, Pthẳnghàngkhi vàchỉkhiAH BF CG..= -1.HB FC GAChứngminh:Ø Phầnthuận:Sửdụngđịnhlýsintrongcáctam giácAGH,BFH,CGF, tađược:··AH sin · BF sin BHF CG sinGFCAGH=;=;=.··GA sin · HB sin HFB FC sinCGFAHG····(vớilưuý rằng sin · = sin CGF ;sin · = sin BHF ;sin HFB =sin GFC.)AGHAHGNhântừngvếtađượcđiềuphảichứngminh.Ø Phầnđảo: Gọi F = GH IBC. Hoàntoàntươngtựta cóđược:AH BF CG AH BF CGBF BF..=..=,suyra F º F .( = -1). HayHB F C GA HB FC GAF C FCNhậnxét.ĐịnhlýMenelauscó rấtnhiều ứngdụngtronggiảitoán.Nhiềuđịnhlýnổitiếngđượcchứngminhmột cáchdễdàngnhờđịnhlýMenelausnhưđịnhlýCeva,Pascal,Desargues(sẽđượcnêuởphầnbàitậpdướiđây).Vídụ:BChoA,B,C,D, E, F làcácđiểmnằmtrênmộtđườngtròn (có thểkoxếptheothứ tựnhưtrên). GọiP = AB I DE , Q = BC I EF , R = CD IFA. ChứngminhrằngP,Q, Rthẳnghàng.Chứngminh:Gọi X = EF I AB, Y = AB I CD, Z = CD IEF .OAÁpdụngđịnhlýMenelauschoBc,DE,FA (đốivớiFXtamgiácXYZ), ta có:CZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA..=..=..= ( - )1 .QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AYZQ XP YRDođó:..= - . ...