Một số mở rộng và áp dụng của bất đẳng thức Klamkin

Bài viết giới thiệu bất đẳng thức Klamkin (1975) cùng một số ứng dụng và mở rộng của nó, qua đó có thể thấy rằng, nhiều điều thú vị vẫn còn ẩn náu trong các đối tượng cổ điển như tam giác, tứ giác, hình tròn, cần được đi sâu nghiên cứu, tìm hiểu và phát triển. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số mở rộng và áp dụng của bất đẳng thức Klamkin Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC K LAMKIN Hoàng Minh Quân - Hội Toán học Hà Nội Ngụy Phan Tiến - Trường THPT Yên Dũng 3, Bắc Giang Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức hình học thể hiện mối quan hệ mang tính bản chất của các quan hệhình học và là một chuyên đề thú vị trong toán sơ cấp, thường xuất hiện trong các kì thihọc sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế.Nghiên cứu, tìm tòi và phát hiện những điều mới từ các bất đẳng thức hình học luônmang lại niềm vui cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học, đặc biệt là trongcác trường chuyên, lớp chọn.Báo cáo giới thiệu bất đẳng thức Klamkin (1975) cùng một số ứng dụng và mở rộng củanó, qua đó có thể thấy rằng, nhiều điều thú vị vẫn còn ẩn náu trong các đối tượng cổ điểnnhư tam giác, tứ giác, hình tròn, cần được đi sâu nghiên cứu, tìm hiểu và phát triển. Trong báo cáo này, các kí hiệu sau đây được sử dụng:1) A, B, C là các góc của tam giác ABC.2) a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.3) p = a+2b+c là nửa chu vi của tam giác ABC.4) S hay S ABC là diện tích tam giác ABC.5) r, R, r a tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếpcạnh a của tam giác ABC.6) R1 , R2 , R3 lần lượt là khoảng cách từ điểm P bất kì trong tam giác ABC đến các đỉnhA, B, C.7) r1 , r2 , r3 lần lượt là khoảng cách từ điểm P bất kì trong tam giác ABC đến các cạnhBC, CA, AB.8) h a , m a , la tương ứng là độ dài đường cao, trung tuyến và phân giác trong hạ từ A củatam giác ABC. −→9) − →a , AB là các vectơ. − → −→ −→10) −→a . b , AB.CD là tích vô hướng của hai vectơ.1 Bất đẳng thức KlamkinĐịnh lý 1 (Klamkin, [8], 1975). Cho tam giác ABC tùy ý với BC = a, CA = b, AB = c và P làđiểm bất kì trong không gian, khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh A, B, C lần lượt là R1 , R2 , R3 .Khi đó với mọi số thực x, y, z ta có ( x + y + z)( xR21 + yR22 + zR23 ) ≥ yza2 + zxb2 + xyc2 . (1.1) 193 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 − → − → − →Chứng minh. Từ bất đẳng thức ( x PA + y PB + z PC )2 ≥ 0 ta có − →− → →− − → − →− → x2 PA2 + y2 PB2 + z2 PC2 + (2xy PA PB + 2yz PB PC + 2zx PC PA) ≥ 0. (1.2)Ta lại có → − − → −→− → AB2 = ( PB − PA)2 = PA2 + PB2 − 2 PB. PA.Suy ra −→− → 2 PA. PB = PA2 + PB2 − c2 .Tương tự →− − → 2 PB. PC = PB2 + PC2 − a2 , −→− → 2 PC. PA = PA2 + PC2 − b2 .Thay các đẳng thức này vào (1.2) và thu gọn, ta được bất đẳng thức ( x + y + z)( xPA2 + yPB2 + zPC2 ) ≥ yza2 + zxb2 + xyc2hay ( x + y + z)( xR21 + yR22 + zR23 ) ≥ yza2 + zxb2 + xyc2 .Vậy (1.1) được chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là tâm tỉ cự của hệ điểm ( A, B, C ).2 Ứng dụng Bất đẳng thức Klamkin có rất nhiều ứng dụng, dưới đây chúng tôi chỉ trình bày mộtsố ví dụ điển hình.Bài toán 1. Cho P là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC. Chứng minh rằng 1 2 PA2 + PB2 + PC2 ≥ ( a + b2 + c2 ). 3Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức (1.1) với x = y = z = 1, ta có 3( PA2 + PB2 + PC2 ) ≥ a2 + b2 + c2 ,hay 1 2 PA2 + PB2 + PC2 ≥ ( a + b2 + c2 ). 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P là trọng tâm tam giác ABC.Bài toán 2. Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng 9 m a 2 + mb 2 + mc 2 (m a + mb + mc ) ≥ m a a2 + m b b2 + m c c2 . 4 ...