MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG XYZ

Tham khảo tài liệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức dạng xyz, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG XYZ www.VIETMATHS.com Dương Văn Sơn – Giáo viên trư ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA BIỂU THỨC XYZ Bài toán: “ Chứng minh bất đẳng thức (BĐT) có chứa biểu thức xyz trong đó x, y, z là các số thực không âm, có vai trò bình đ ẳng và BĐT tương đương với ( xyz ) n P( x, y, z ) với n N * ; P( x, y, z) là đa thức” thường gây rất nhiều khó khăn cho học sinh vì việc đánh giá ( xyz ) n P( x, y, z ) là “không thuận lợ i”. Trong bài viết này, tác giả xin giớ i thiệu một s ố kĩ năng đ ể giả i bài toán dạng này. 1. Sử dụng BĐT: “Với x, y, z là các số thực không âm tùy ý, ta có ( x y z )( x z y)( y z x) xyz ” (1). Thí dụ 1. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1 . 7 Chứng minh rằng . 0 xy yz zx 2 xyz 27 (Đề thi IMO năm 1984) Lời giải. Áp dụng (1) và giả thiết, ta có xyz . (1 2 x)(1 2 y)(1 2 z) xyz 1 2( x y z ) 4( xy yz zx) 8xyz xyz 1 Suy ra (2) xy yz zx 2 xyz 4 3 x y z 1 Mặt khác, ta có (3) xyz 3 27 7 Từ (2) và (3) suy ra xy yz zx 2 xyz . 27 Ngoài ra, từ giả thiết suy ra 0 x, y, z 1 . Do đó xy yz zx 2 xyz xy(1 z) yz(1 x) zx 0 . 2. Sử dụng tính chất: “Trong ba số x, y, z luôn tồn tại ít nhất hai s ố sao cho chúng cùng không lớn hơn a hoặc cùng không nhỏ hơn a , với a là số thực tùy ý” (4). Thí dụ 2. Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn xy yz zx xyz 4 (*). Chứng minh rằng: x y z xy yz zx . Đẳng thức xảy ra khi nào. (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 1996) Lời giải. Theo tính chất (4) và vai trò x, y, z trong bài toán bình đẳng nên x1 x1 không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hoặc . y1 y1 Khi đó, ta có (1 x)(1 y) 0 xy 1 x y Suy ra z( xy 1) z( x y) (5) xyz z xz yz xyz xy z xy yz zx Ta sẽ chứng minh: x y (6) z xyz xy z Thật vậy: (6) x y z (7) 4 xy yz zx xy z (x y)(z 1) 4Web page VIETMATHS.com See on VIETMATHS.comwww.VIETMATHS.com Dương Văn Sơn – Giáo viên trư ờng THPT Hà Huy Tập, Vinh – Nghệ An. Nếu x y 0 (*) trở thành 0 =4 vô lí. Do đó x y xy 0 và từ (*) ta có: 4 xy z= x y xy 4 xy ...