Một số phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Nội dung của bài viết "Một số phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng" là nhằm trình bày một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, sử dụng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến, sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, điểm đến mặt phẳng,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Lê Thanh Bình Trường THPT Tĩnh Gia 1, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Nội dung của bài viết này là nhằm trình bày một số phương pháp tính góc giữa haimặt phẳng cắt nhau1 Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳngĐịnh nghĩa 1.1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông gócvới hai mặt phẳng đó. Chú ý: Trong bài viết này có sử dụng ký hiệu góc giữa hai mặt phẳng ( P) và ( Q) là(( P\ ); ( Q)). Xét phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ( P) và ( Q).1.1 Sử dụng định nghĩa Tìm (dựng) hai đường thẳng a và b sao cho a⊥ ( P) và b⊥ ( Q). Khi đó (( P\ ); ( Q)) =[( a; b).Nhận xét 1.1. Với cách làm này, ta cần phải tìm đường thẳng a vuông góc vớimặt phẳng ( P). Do đó phải tìm được mặt phẳng (α)vuông góc với ( P). Khiđó alà đường thẳng nằm trong (α) và vuông góc với giao tuyến của (α) và ( P). 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Ví dụ 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,SA⊥( ABCD ). Mặt √ phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp theo thiết 2 a 3diện có diện tích . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ). 6Lời giải. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SC, SD. Khi đó chứng minh được AB0 ⊥ (SBC ) và AD 0 ⊥ (SCD ). Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) là góc giữa hai đường thẳng AB0 vàAD 0 . Từ đó ta cũng có AB0 ⊥SC, AC 0 ⊥SC, AD 0 ⊥SC. Do đó A, B’, C’, D’ cùng thuộc (P). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AB’C’D’. Đặt SA = h. Khi đó ta có SB0 SB0 .SB SA2 h2 SD 0 = = = = SB SB2 SB2 a2 + h2 SD Suy ra B0 D 0 //BD ⇒ B0 D 0 ⊥ (SAC )⇒ B0 D 0 ⊥ AC 0 . √ B0 D 0 SB0 h2 0 0 h2 h2 .a 2 Cũng từ đó suy ra = = 2 2 ⇒BD = 2 .BD = 2 . BD SB√ a +h a + h2 a + h2 SA.AC h.a 2 1 Ta có AC 0 = = √ . Do đó diện tích thiết diện là: Std = B0 D 0 .AC 0 = SC 2 2a + h 2 2 3 h a 2 √ . 2 2( a + h ) 2a2 + h2 √ √ a2 3 h3 a2 a2 3 Vì diện tích thiết diện bằng nên √ = 6 ( a 2 + h2 ) 2a2 + h2 6 √ 2 1 3 a 2 a 2 ⇔ r = ⇔ +1 2 + 1 = 12 a 2 a 2 6 h h +1 2 +1 h h a 2 Đặt t = ta được (t + 1)2 (2t + 1) = 12 ⇔ 2t3 + 5t2 + 4t − 11 = 0 ⇔ t = 1. Do hđó h = a. √ 0 0 a 2 \0 , AD 0 ) = 600 . Khi đó tam giác AB D đều cạnh bằng . Suy ra ( AB 2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) bằng 600 .1.2 Sử dụng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến Xác định giao tuyến của ( P) và ( Q). Giả sử đường thẳng ∆ = ( P) ∩ ( Q). - Tìm mặt phẳng ( R) thích hợp sao cho ( R) ⊥∆. 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 - Xác định a = ( P) ∩ ( R) và b = ( Q) ∩ ( R). - Khi đó (( P\ ); ( Q)) = ([ a; b).Nhận xét 1.2. Vì ( R) ⊥∆ nên ∀d ⊂ ( R), ta có d⊥∆. Do đó, để dựng mặt phẳng ( R)vuông góc với ∆, ta thường phải tìm một đường thẳng d⊥∆ thích hợp. Tìm giao điểmH = d ∩ ( P) , M = d ∩ ( Q) Từ M kẻ đường thẳng MO⊥∆ tại O (hoặc từ H kẻ OH ⊥∆ tạiO). Khi đó mặt phẳng ( R) là mặt phẳng ( MOH ). Nếu d⊥ ( P)hoặc d⊥ ( Q) thì càng thuận lợi hơn, ta có ngay góc giữa ( P) và ( Q) là gócMOH.\Ví dụ 1.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥ ( ABC ), gócgiữa SB và đáy bằng 450 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và (SBC ).Lời giải. Ta có (SAC ) ∩ (SBC ) = SC. Gọi H là trung điểm của AC, suy ra BH ⊥ (SAC ). Do đó BH ⊥SC. Kẻ HK ⊥SC tại K. Suy ra ( BHK ) ⊥SC. Do đó góc giữa (SAC ) và (SBC ) là góc giữa HK và BK, đó là góc BKH. [ Ta có góc giữa 0SB và đáy là góc SBA [ = 45 . √ √ a a 3 Suy ra SA = a, SC = a 2, HC = , HB = . 2 2 √ ...