Một số tính chất của đa thức bất khả quy trên vành số nguyên Z

Bài viết Một số tính chất của đa thức bất khả quy trên vành số nguyên Z trình bày một số kết quả về đa thức bất khả quy trên vành số nguyên và đưa ra một số tiêu chuẩn của đa thức bất khả quy, cũng như một số ví dụ điển hình để áp dụng giải các lớp bài toán tương tự.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số tính chất của đa thức bất khả quy trên vành số nguyên Z KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 61/2022 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN VÀNH SỐ NGUYÊN Phạm Ngọc Hải 1 Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *Email: Ngochaiqn87@gmail.com Mobile: 0389153242 Tóm tắt Từ khóa: Trong lý thuyết đa thức, đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống như Đa thức bất khả quy; đa thức số nguyên tố trong tập hợp các số nguyên. Các bài toán về đa thức xuất hiện nguyên bản; nguyên tố cùng nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi TST; IMO; VMO hàng năm. Các bài toán nhau; vành số nguyên thường yêu cầu nghiên cứu tính chất các hệ số của một đa thức; tính chất nghiệm của nó hoặc tính khả quy của đa thức trên vành số nguyên ; trường số thực . Bài báo trình bày một số kết quả về đa thức bất khả quy trên vành số nguyên và đưa ra một số tiêu chuẩn của đa thức bất khả quy, cũng như một số ví dụ điển hình để áp dụng giải các lớp bài toán tương tự. 1. GIỚI THIỆU v) Nếu x m n với m, n nguyên, n Bài toán xác định tính khả quy, bất khả quy của đa thức là dạng bài tập cơ bản trong lý thuyết về đại không chính phương và là nghiệm của P(x ) )thì số, đòi hỏi người học phải nắm vững các kiến thức P(x ) M N n với M , N nguyên. cơ bản về tính chất các hệ số của một đa thức, tính vi) Đa thức nguyên: Đa thức với hệ số hữu tỷ chất nghiệm của nó và các thuật toán chứng minh. nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được Trong bài viết này, tác giả đề cập đến một số tiêu gọi là đa thức nguyên. Một đa thức với hệ số hữu tỷ chuẩn và tính chất bất khả quy của đa thức trên vành số nguyên , từ đó giúp người học tiếp cận a P(x ) bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng x Q(x ) các kiến thức về đa thức mở rộng trên trường số b thực và số phức . với a, b là các số nguyên và Q(x ) là đa thức với hệ 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT số nguyên. 2.1. Đa thức trên vành số nguyên 2.2. Đa thức bất khả quy Cho đa thức P(x ) [x ] : Định nghĩa. Cho đa thức P(x ) với hệ số P(x ) an x n an 1x n 1 ... a1x a0 nguyên; deg P(x ) 1 .Ta gọi P(x ) là bất khả quy i) Nếu P(x ) có nghiệm nguyên x a thì trên [x ] nếu P(x ) không phân tích được thành P(x ) phân tích được P(x ) (x a)Q(x ) với tích hai đa thức thuộc [x ] với bậc lớn hơn hay Q(x ) là đa thức với hệ số nguyên. bằng 1. Ngược lại thì P(x ) gọi là khả quy trên [x ] . ii) Nếu a, b là các số nguyên phân biệt thì Tương tự ta có định nghĩa đa thức bất khả quy trên [x ]; [x ]. P(a) P(b) chia hết cho a b. 2.3. Một số tính chất của đa thức bất khả quy p trên vành số nguyên iii) Nếu x ,(p; q ) 1 là một nghiệm hữu tỷ q +) Một đa thức bất khả quy trên [x ] khi và của P(x ) thì p là ước của a 0 và q là ước của an . chỉ khi nó là các đa thức bậc nhất. +) Một đa thức bất khả quy trên [x ] khi và Đặc biệt nếu an 1 thì mọi nghiệm hữu tỷ đều là chỉ khi nó là các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức nghiệm nguyên. bậc hai vô nghiệm. iv) Nếu x m n là nghiệm của P(x ) với +) Một đa thức bất khả quy trên [x ] thì bất mọi m, n nguyên, n không chính phương thì khả quy trên [x ]. x m n cũng là nghiệm của P(x ). +) Quan hệ bất khả quy trên [x ]. và [x ] : Nếu đa thức P(x ) [x ] bất khả quy trên [x ] thì cũng bất khả quy trên [x ] (*) KH&CN QUI 1 SỐ 61/2022 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Bổ đề Gauss: Đa thức P(x ) [x ] là nguyên i) a0 ; a1;...; an 1 chia hết cho p bản nếu các hệ số của nó là nguyên tố cùng nhau. Khi đó tích của hai đa thức nguyên bản là một đa ii) ...