Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn

Đề tài báo cáo "Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn" xoay quanh một số tính chất của trường hữu hạn và của đa thức trên trường hữu hạn. Đây là những kiến thức cơ sở và cơ bản nhất để chúng ta có thể tiếp tục tìm hiểu về ứng dụng của trường hữu hạn trong Toán học. Các kết quả chính bao gồm cấu trúc một trường hữu hạn, phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG HỮU HẠN ĐA THỨC TRÊN TRƢỜNG HỮU HẠN Phạm Bá Đức, Nguyễn Thị Ngọc Anh, Lớp K61CLC, Khoa Toán – Tin GVHD: ThS. Nguyễn Hữu Kiên Tóm tắt: Trường hữu hạn là một vấn đề hay của Đại số hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong hình học hữu hạn, trong đại số tổ hợp, hay trong lí thuyết mật mã... Do đó đề tài báo cáo lần này chủ yếu xoay quanh một số tính chất của trường hữu hạn và của đa thức trên trường hữu hạn. Đây là những kiến thức cơ sở và cơ bản nhất để chúng ta có thể tiếp tục tìm hiểu về ứng dụng của trường hữu hạn trong Toán học. Các kết quả chính bao gồm cấu trúc một trường hữu hạn, phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy. Từ khóa: Trường hữu hạn, đa thức trên trường hữu hạn, phân tích đa thức thành nhân tử trên trường hữu hạn. I. MỞ ĐẦU Cho F là một trƣờng có hữu hạn phần tử. Khi đó char F là số nguyên tố và số lƣợng phần tử của F là p n . Ngƣợc lại, với p, n cố định thì luôn tồn tại một trƣờng hữu hạn có p n phần tử (sai khác một đẳng cấu). Kí hiệu trƣờng hữu hạn có q  p n phần tử là Fq . Khi đó ta xét các đa thức trên Fq . Đề tài đặt ra vấn đề tìm hiểu phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy, đánh giá về định lƣợng và định tính của phân tích. Trƣớc hết là định lƣợng thông qua đánh giá số nghiệm phƣơng trình X q  X trên Fq [ x] / ( f ( x)) . Tiếp theo ta đi tìm biểu diễn các nhân tử của phân tích thông qua các nghiệm của phƣơng trình X q  X trên Fq [ x] / ( f ( x)) . Từ đó mô tả các nhân tử và bậc lũy thừa của các nhân tử trong phân tích. Các kết quả đƣợc trình bày là các kết quả đã biết về tính chất chung của trƣờng hữu hạn và đa thức trên trƣờng hữu hạn. Mục đích các tác giả là chứng minh các kết quả một cách độc lập sơ cấp và ngắn gọn, chỉ sử dụng các kết quả đã học trong học phần ĐSĐC và lí thuyết Galois. Các kết quả sâu hơn về đề tài đòi hỏi thời gian nghiên cứu dài hơn và các công cụ mạnh hơn. Đề tài đƣợc chia thành 3 mục nhỏ. Mục 1 trình bày một số kiến thức về đại số đại cƣơng. Mục 2 trình bày về những kết quả, tính chất và cấu trúc của trƣờng hữu hạn. Mục 3 dành cho việc phân tích một đa thức bất khả quy trên trƣờng phân rã và phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy. Sau đó tiến hành xem xét 1 đa thức, đặc biệt là đa thức cyclotomic và việc phân tích đa thức này thành nhân tử bất khả quy. II. NỘI DUNG 1. Nhắc lại kiến thức về đại số đại cƣơng Phần này đề tài chủ yếu đƣa ra những kiến thức cơ bản và những tính chất cần thiết sử dụng đến trong các chứng minh ở các phần tiếp theo về: nhóm, vành, trường. 16 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Ở đây khi nhắc đến vành ta chỉ xét vành có đơn vị 1. Ngoài ra ta còn nghiên cứu các tính chất của đa thức nhƣ nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy và lí thuyết Galois về các mở rộng trƣờng. Trong đề tài sử dụng kí hiệu đa thức tối thiểu bậc n của c trên trƣờng K là: p( x)  min(n, K , c), n  deg p( x) để phân biệt với đa thức bất quả quy bậc m trên F là f ( x)  irr (m, F ) . 2. Một số vấn đề về trƣờng hữu hạn Ta xem xét các đặc trƣng cần dùng đến của trƣờng hữu hạn qua các định lí sau: Định lí 2.1: Nếu F là trƣờng hữu hạn thì char F là một số nguyên tố. Từ đây nếu không nói gì thêm, ta gọi đặc số của các trƣờng hữu hạn là p, p nguyên tố. F *  F \{0} là nhóm các phần tử khả nghịch trong trƣờng hữu hạn F . Fq*r  {x r | x  Fq* , r  * }. Nhận xét 2.2 a  Fq  a q  a,| Fq | q . Bổ đề 2.3: Cho F là trƣờng hữu hạn chứa trƣờng con K , charK  q, n  [ F : K ] thì | F | q n . Định lí 2.4: Cho Fq $,$ K là trƣờng con của Fq . Khi đó, đa thức f ( x)  x q  x  K[ x] thì x q  x   ( x  a ), x  a  F [ x] và F ai Fq i i q q là trƣờng phân rã của đa thức f ( x) trên K . Định lí 2.5: | Fq | p n , n  N . * Định lí 2.6: Cho Fq , p( x)  irr (n, Fq [ x]) thì Fq [ x] / ( f ( x)) là trƣờng hữu hạn có q n phần tử. Định lí 2.7: Với mỗi số nguyên tố p và mỗi số nguyên dƣơng n đều tồn tại trƣờng hữu hạn cấp p n . Mọi trƣờng hữu hạn có q  p n phần tử thì đẳng cấu với trƣờng phân rã của đa thức x  x trên Fq . q Định lí 2.8: Mọi trƣờng con của trƣờng có p n phần tử đều có p m phần tử với m | n . Ngƣợc lại, nếu m | n thì Fp n có duy nhất 1 trƣờng con ...