Một số tính chất trên đồ thị ước của không của vành Z2n

Bài báo giới thiệu khái niệm đồ thị ước của không của một vành R (không nhất thiết giao hoán) và đưa ra một số tính chất của đồ thị ước của không của vành Z2n .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số tính chất trên đồ thị ước của không của vành Z2nTrường Đại học VinhTạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 5-20MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN ĐỒ THỊ ƯỚC CỦA KHÔNG CỦA VÀNH Z2nLê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Nguyễn Thị Thu HằngKhoa Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Hà TĩnhNgày nhận bài 29/5/2017, ngày nhận đăng 19/10/2017Tóm tắt: Bài báo giới thiệu khái niệm đồ thị ước của không của một vành R(không nhất thiết giao hoán) và đưa ra một số tính chất của đồ thị ước của khôngcủa vành Z2n .1Đặt vấn đềTrong toàn bộ bài báo này, chúng tôi quan tâm xem xét các vành R hữu hạn, kết hợpvà có đơn vị. Ký hiệu Zn để chỉ vành các lớp thặng dư môđulô n. Cho đại lượng s và tậphợp hữu hạn X, ký hiệu Max{s}, card(X) lần lượt là giá trị lớn nhất của s và số phần tửcủa tập hợp X. Cho số thực x, khi đó [x] là ký hiệu phần nguyên của x, tức nguyên là sốnlà số tổlớn nhất không vượt quá x. Với hai số tự nhiên k, n trong đó k ≤ n, ký hiệukhợp chập k của n phần tử. Cho hai số nguyên dương a, b, ký hiệu ước chung lớn nhất củachúng là gcd(a, b). Cho vành R, phần tử x ∈ R, x 6= 0 được gọi là ước của không trái (leftzero divisior) của vành R nếu tồn tại phần tử y 6= 0 sao cho xy = 0. Phần tử x ∈ R, x 6= 0được gọi là ước của không phải (right zero divisior) của vành R nếu tồn tại phần tử z 6= 0sao cho zx = 0. Phần tử x là ước của không trái (hoặc phải ) của vành R đều được gọi làước của không (zero divisior). Phần tử x ∈ R được gọi là ước của không hai phía (left andright zero divisior) của vành R, nếu nó vừa là ước của không trái và phải của R. Chẳnghạn, xét R= M2 (Z)vuông cấp 2 với các phần là vành các ma trận  tử trên vành Z. Xét ma1 1110 0 và B = , chúng ta có AB = . Do đó A là ướctrận A = 2 2−1 −10 0của không trái của M2 (Z) và B là ước của không phải của M2 (Z). Trên vànhR = M2(Z2 )1 1 làlà vành các ma trận vuông cấp 2 với các phần tử trên vành Z2 , phần tử C = 1 10 0.ước của không hai phía của vành R vì C 2 = 0 0Dĩ nhiên, nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm ước của không trái (hoặc phải)trùng với khái niệm ước của không hai phía. Mặt khác nếu R = Zn là vành các lớp thặng1)Email: an.levan@htu.edu.vn (L. V. An).5Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Nguyễn Thị Thu Hằng/ Một số tính chất trên đồ thị ước của...dư môđulô n với n ≥ 2, thì số ước của không bằng n − 1 − ϕ(n) trong đó ϕ(n) là giá trịphi hàm Euler của n. Lưu ý rằng, nếu n có sự phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tốn = pα1 1 pα2 2 ...pαk k (trong đó p1 , p2 , ..., pk là k số nguyên tố khác nhau và α1 , α2 , ..., αk là ksố nguyên dương) thì ϕ(n) = n(1 − p11 )(1 − p12 )(1 − p1k ). Do đó nếu m = 2n (n ≥ 2) thìϕ(m) = 2n−1 . Định nghĩa, tính chất và ví dụ về ước của không của một số lớp vành có thểtìm thấy trong [4], [7].Năm 1999, trong [3], D. F. Anderson và P. S. Livingston đã sử dụng khái niệm đồ thịđể biểu diễn các ước của không của vành giao hoán hữu hạn R. Trong bài báo đó, tập đỉnhcủa đồ thị chính là các ước của không của vành, các cạnh nối với nhau dựa theo quan hệphép nhân trong vành (nghĩa là nếu xy = 0 thì đỉnh x nối được với đỉnh y); như vậy kháiniệm ước của không được nghiên cứu theo quan điểm tổ hợp với đồ thị là khái niệm trọngtâm trong Hình học tổ hợp. Lưu ý rằng, trong bài báo [3], các tác giả xét đến các ước củakhông trên vành R với điều kiện xy = 0 nhưng x 6= y, do đó đồ thị được xây dựng sẽ khôngxuất hiện các khuyên (tức là các điểm tự nối với chính nó). Hiện nay, nghiên cứu đại sốthông qua tổ hợp và ngược lại là những vấn đề thời sự được nhiều tác giả quan tâm (xem[1], [2], [3], [6] ...).Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm đồ thị ước của không cho vành Rkhông nhất thiết giao hoán và các phần tử xy = 0 xét đến cả trường hợp x không nhất thiếtkhác y. Do đó đồ thị được biểu diễn sẽ xuất hiện các khuyên ứng với trường hợp x2 = 0.Như vậy, điểm khác biệt của bài báo này với các nghiên cứu trước đó (bao gồm các kếtquả của trên vành giao hoán và vành không giao hoán) chính là sự xuất hiện các khuyêntrên đồ thị ước của không. Trong mục 2, chúng tôi xây dựng các ví dụ về đồ thị ước củakhông của vành không giao hoán. Trong mục 3, chúng tôi xây dựng các ví dụ về đồ thị ướccủa không của vành giao hoán nhưng tập trung vào lớp vành Z2n với n là số nguyên dươngkhông nhỏ hơn 2. Trong mục 4, chúng tôi quan tâm đến các tính chất như số đỉnh, số cạnh,số các đồ thị con của đồ thị ước của không ứng với vành Z2n .2Đồ thị ước của không của vành không giao hoánMột đồ thị có hướng (directed graph) là một bộ gồm 4 thành phần G = G(V, E, r, s)trong đó V là tập các đỉnh (vertices), E là tập các cạnh (edges) và r, s : E −→ V là cácánh xạ từ tập các cạnh đến tập các đỉnh. Nếu e ∈ E là một cạnh thì s(e), r(e) lần lượt làđiểm đầu và điểm cuối của cạnh e.Trong trường hợp s(e) = r(e) = v thì ta nói G là đồ thị có khuyên (loop) và e được gọilà một khuyên của G. Một đường có hướng (directed path) µ = e1 e2 ...e ...