Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp

Bài viết "Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp" có nội dung trình bày về dạng lượng giác của số phức; các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số; rút gọn một số tổng tổ hợp, chứng minh các đẳng thức tổ hợp; các bài toán đếm;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP Đặng Thị Mến THPT Chuyên Hưng Yên1 Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z 6= 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z.Khi đó số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là mộtacgumen của z.Chú ý+ Nếu ϕ là acgumen của z thì mọi acgumen của z đều có dạng ϕ + k2π, k ∈ Z.+ Acgumen của z 6= 0 xác định sai khác k2π, k ∈ Z. √ Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ R), với r = a2 + b2 là mođun của số phức z và ϕ làacgumen của số phức z. Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phứcz 6= 0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r 0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) (r ≥ 0 và r 0 ≥ 0) thìzz0 = rr 0 [cos( ϕ + ϕ0 ) + i sin( ϕ + ϕ0 )] z r = 0 cos( ϕ − ϕ0 ) + isin( ϕ − ϕ0 ) ( khi r 0 > 0). z 0 r [r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ), ∀n ∈ N∗ .[cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ, ∀n ∈ N∗ . Kí hiệu cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ , gọi là lũy thừa của e với số mũ ảo.Cho z = r (cos ϕ + i sin ϕ), khi đó z còn được biểu diễn dưới dạng z = reiϕ được gọi là dạngmũ của số phức z.Các phép toán viết lại 0 0 z r 0z = reiϕ ; z0 = r 0 eiϕ suy ra z.z0 = r.r 0 .ei( ϕ+ ϕ ) ; 0 = 0 .ei( ϕ− ϕ ) (z0 6= 0). z rz = r.e−iϕ ; zn = r n einϕ . eiϕ + e−iϕ eiϕ − e−iϕCông thức Ơle (Euler): cos ϕ = ; sin ϕ = . 2 2i Cho số phức z và số nguyên n ≥ 2, số phức w được gọi là căn bận n của z nếu wn = z.Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ), r > 0 thì căn bậc n của z gồm n số phân biệt xác định bởi √ n ϕ + k2π ϕ + k2π wk = r cos + i sin ; k = 0; 1; . . . ; n − 1. n n 259 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017+ Khi n = 2, có hai căn bậc hai của z là √ √ √ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ r cos + i sin ; − r cos + i sin = r cos + π + i sin +π . 2 2 2 2 2 2+ Căn bậc n của đơn vịCăn bậc n của số phức z = 1 gọi là căn bậc n của đơn vị. Từ định nghĩa ta có các căn bậc n k2π k2πcủa đơn vị là wk = cos + i sin ; k = 0; 1; 2; . . . ; n − 1. n nw là một căn bậc n của đơn vị và được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu mọi sốnguyên dương m < n ta có wm 6= 1.Tính chất căn nguyên thủy bậc n của đơn vịNếu w là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì 1 + wk + w2k + · · · + wk(n−1) = 0 với(k, n) = 1.Đặc biệt, k = 1 ta có 1 + w + w2 + · · · + wn−1 = 0.2 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số Một số phương trình với ẩn phức f (z) = 0 và với nghiệm z = x + yi ( x, y ∈ R), có thểgiải bằng cách tách phần thực và phần ảo, ta luôn có thể đưa về dạng hệ phương trình ( h( x, y) = 0 g( x, y) = 0Chẳng hạn, để tìm căn bậc ba của số phức 1 + i, ta tìm số phức z = x + yi sao cho z3 = 1 + i.Bằng cách tách phần thực và phần ảo trong đẳng thức ( x + yi )3 = 1 + i ta được hệ phươngtrình ( x3 − 3xy2 = 1 3x2 y − y3 = 1Giải hệ này, ta tìm được ( x; y), từ đó ta sẽ tìm được z. Tuy nhiên, rõ ràng z có thể tìm đượcbằng cách tìm căn bậc ba của 1 + i, cụ thể là √ √ π π 6 π k2π π k2π1 + i = 2 cos + sin nên z = 2 cos + + i sin + ; k ∈ 4 4 12 3 12 3{0; 1; 2}. Từ đó, ngược lại ta tìm được nghiệm của hệ phương trình là √ √ 6 π k2π 6 π k2π ( x; y) ∈ 2 cos + ; 2 sin + ; k ∈ {0; 1; 2} 12 3 12 3Như thế, một số hệ phương trình có thể có xuất xứ từ các phương trình nghiệm phức.Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình nghiệm phức về hệ phương trình, từ hệphương trình đã cho ta thu được phương trình nghiệm phức gốc. Giải các phương trìnhnghiệm phức này, so sánh phần thực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình. Ta xét ví dụ sau 260 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau √  ...