Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 2

Tham khảo Phần 2 của Tài liệu Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp Đại học ngành giáo dục tiểu học phần toán cao cấp để nắm các kiến thức về: vành trường, biến ngẫu nhiên và phân phối xác xuất, thống kê toán học với nội dung được trình bày thành 2 phần (lý thuyết và bài tập lời giải) giúp các bạn nắm bắt kiến thức một cách khái quát nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ngành giáo dục tiểu học - Ôn thi tốt nghiệp Đại học phần toán cao cấp: Phần 2 Ch−¬ng IV : Vμnh -Tr−êng Tãm t¾t lÝ thuyÕt4.1. Kh¸i niÖm vμnh4.1.1. §Þnh nghÜa Vμnh lμ mét tËp hîp R cïng víi hai phÐp to¸n hai ng«i trªn R mμ ta th−êng kÝ hiÖu lμ +(phÐp céng) vμ . (phÐp nh©n) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1) R lμ mét nhãm aben ®èi víi phÐp céng. 2) PhÐp nh©n cã tÝnh kÕt hîp. 3) PhÐp nh©n ph©n phèi vÒ hai phÝa ®èi víi phÐp céng. C¸c ®iÒu nμy cã nghÜa lμ tho¶ m·n : (R1) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x. (R2) ∀x, y, z ∈ R, (x+ y) + z = x + (y + z). (R3) ∃ 0 ∈ R, ∀x ∈ R, x + 0 = x. (R4) ∀x ∈ R, ∃ –x ∈ R, x + (–x) = 0. (R5) ∀x, y, z ∈ R, (xy)z = x(yz). (R6) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx. Khi hai phÐp to¸n ®Òu ®· râ, ta sÏ nãi ®¬n gi¶n : R lμ mét vμnh.4.1.2. §Þnh nghÜa Vμnh R ®−îc gäi lμ giao ho¸n nÕu phÐp nh©n cña nã giao ho¸n, nghÜa lμ tho¶ m·n : (R7) ∀x, y ∈ R, xy = yx. Vμnh R ®−îc gäi lμ cã ®¬n vÞ nÕu R víi phÐp nh©n cña nã cã ®¬n vÞ, nghÜa lμ tho¶ m·n: (R8) ∃ 1 ∈ R, 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. §−¬ng nhiªn, phÇn tö ®¬n vÞ cña mét vμnh nÕu tån t¹i lμ duy nhÊt.4.1.3. TÝnh chÊt Cho R lμ mét vμnh. 1. 0x = x0 = 0, ∀x ∈ R. 2. (–x)y = x(–y) = –(xy), ∀x, y ∈ R. 3. (–x)(–y) = xy, ∀x, y ∈ R. 4. x(y – z) = xy – xz, (x – y)z = xz – yz, ∀x, y, z ∈ R. m n 5. (x1 + ... + xm)(y1 + ... + yn) = ∑∑ x y i =1 j =1 i j , ∀xi, yj ∈ R. 6. (nx)y = x(ny) = n(xy), ∀x, y ∈ R, n ∈ Z. 7. NÕu R lμ mét vμnh giao ho¸n th× : n n! (x + y)n = ∑ i !(n − i)! x y i =0 i n −i , ∀x, y ∈ R, n ∈ N.4.1.4. ThÝ dô 1) TËp Z c¸c sè nguyªn, tËp Q c¸c sè h÷u tØ, tËp R c¸c sè thùc vμ tËp C c¸c sè phøccïng víi hai phÐp to¸n céng vμ nh©n th«ng th−êng lμ nh÷ng vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. 2) TËp Zn c¸c sè nguyªn m«®ul« n cïng víi hai phÐp to¸n céng vμ nh©n sau lμ métvμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ 1 : ∀x, y ∈ Z, x + y = x + y , x . y = x y . 3) XÐt tËp Z[x] (t.−. Q[x], R[x]) gåm c¸c ®a thøc víi hÖ sè nguyªn (t.− h÷u tØ, thùc).Víi phÐp céng vμ phÐp nh©n ®a thøc sau, Z[x] (t.−. Q[x], R[x]) lμ mét vμnh giao ho¸n c㮬n vÞ : Víi bÊt k× f(x), g(x) ∈ Z[x], f(x) = a0 + a1x +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x +...+ bmxm (m ≤ n).f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ..+ ( am + bm)xm + am+1xm+1 +...+ anxn. f(x)g(x) = c0 + c1x +...+ cm+nxm+n, ck = ∑ ab . i+ j=k i j 4) Cho G lμ mét nhãm aben víi phÐp to¸n kÝ hiÖu céng. Gäi End(G) lμ tËp hîp c¸c®ång cÊu nhãm tõ G vμo G. Trªn End(G) xÐt hai phÐp to¸n sau : ∀f, g ∈ End(G), f + g x¸c®Þnh bëi (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ G. fg x¸c ®Þnh bëi (fg)(x) = f(g(x)), ∀x ∈ G. Khi ®ã End(G) lμ mét vμnh cã ®¬n vÞ lμ ¸nh x¹ ®ång nhÊt idG, vμnhnμy nãi chung kh«ng giao ho¸n vμ ®−îc gäi lμ vμnh c¸c tù ®ång cÊu cña nhãm aben G.4.2. MiÒn nguyªn vμ tr−êng4.2.1. §Þnh nghÜa Vμnh cã ®¬n vÞ R ®−îc gäi lμ mét thÓ nÕu ®¬n vÞ 1 ≠ 0 vμ mäi phÇn tö kh¸c 0 trong R®Òu kh¶ nghÞch: nãi c¸ch kh¸c, nÕu R \ {0} lμ mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n. Mçi thÓ giaoho¸n gäi lμ mét tr−êng. Nh− vËy tr−êng lμ mét vμnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 sao cho mäi phÇn tö kh¸c 0 cñanã ®Òu kh¶ nghÞch. §iÒu kiÖn 1 ≠ 0 t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiÖn R kh«ng tÇm th−êng : R ≠ {0}.4.2.2. ThÝ dô 1) Mçi vμnh Q, R, C ®Òu lμ mét tr−êng. Trong khi vμnh Z kh«ng lμ mét tr−êng v× c¸cphÇn tö kh¸c ± 1 ®Òu kh«ng kh¶ nghÞch trong Z. 2) Vμnh Zn c¸c sè nguyªn m«®ul« n lμ mét tr−êng nÕu vμ chØ nÕu n lμ mét sè nguyªntè. ThËt vËy, Zn lμ mét tr−êng khi vμ chØ khi ∀ m ∈ Zn, m ≠ 0 , ∃ r ∈ Zn, sao cho m r=1 . §iÒu nμy t−¬ng ®−¬ng víi ∀ m ∈ Z, 0 < m < n, ∃r, s ∈ Z, sao cho rm + sn = 1, tøc lμ mvμ n nguyªn tè cïng nhau ∀m ∈ Z, 0 < m < n. §ã lμ ®iÒu kiÖn cÇn vμ ®ñ ®Ó n lμ mét sènguyªn tè. 3) KÝ hiÖu H = R4 vμ 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1). Trªn H cã phÐp nh©n v« h−íng : ∀a ∈ R, ∀(x, y, z, t) ∈ H, a(x, y, z, t) = (ax, ay, az, at). Khi ®ã ∀(x, y, z, t) ∈ H, (x, y, z, t) cã biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng(x, y, z, t) = x1 + yi + zj + tk. Trªn H xÐt 2 phÐp to¸n nh− sau : a) PhÐp céng : (x, y, z, t) + (x′, y′, z′, t′) = (x + x′, y + y′, z + z′, t + t′). b) PhÐp nh©n : PhÐp nh©n ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c hÖ thøc sau : 1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k = k1 = k, i2 = j2 = k2 = – 1. ij = – ji = k, jk = – kj = i, ki = – ik = j. DÔ kiÓm tra l¹i r»ng H lμ mét thÓ gäi lμ thÓ quaternion nh−ng kh«ng ph¶i lμ méttr−êng.4.2.3. §Þnh nghÜa Vμnh R gäi lμ vμnh cã −íc cña 0 nÕu tån t¹i a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0 sao cho ab = 0. Khi®ã a ®−îc gäi lμ mét −íc tr¸i cña 0 vμ b ®−îc gäi lμ mét −íc ph¶i cña 0. NÕu vμnh R giaoho¸n th× a vμ b ®−îc gäi lμ c¸c −íc cña 0.4.2.4. §Þnh nghÜa Mét vμnh giao ho¸n R cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 vμ kh«ng cã −íc cña 0 ®−îc gäi lμ mét miÒn nguyªn.4.2.5. MÖnh ®Ò Mét vμnh giao ho¸n R cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 lμ mét miÒn nguyªn khi vμ chØ khi trong R cãluËt gi¶n −íc: ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c.víi mäi a, b, c ∈ R.4.2.6. MÖnh ®Ò Mçi tr−êng ®Òu lμ mét miÒn nguyªn. §iÒu ng−îc l¹i lμ kh«ng ®óng. Tuy nhiªn mét miÒn nguyªn h÷u h¹n lμ mét tr−êng (Xembμi tËp 1).4.2.7. ThÝ dô 1) Z lμ mét miÒn nguyªn víi hai phÐp to¸n céng vμ nh©n th«ng th−êng. Vμnh Zn víiphÐp céng vμ phÐp nh©n c¸c sè nguyªn m«®ul« n lμ c¸c vμnh cã −íc cña ...