Nghiệm của phương trình Poisson ba chiều có tính đến điều kiện biên Neumann

Bài viết này trình bày việc giải phương trình Poisson ba chiều và điều kiện biên Neumann; Kết quả mô phỏng và thảo luận; Ảnh hưởng của điều kiện biên Direclet được tiến hành đồng thời bởi một nhóm nghiên cứu khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiệm của phương trình Poisson ba chiều có tính đến điều kiện biên Neumann NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU CÓ TÍNH ĐẾN ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN NGUYỄN VĂN ĐẲNG LÊ HÀ DUNG - NGUYỄN THỊ THU HẰNG Khoa Vật lý1. GIỚI THIỆUNghiên cứu và phát triển các linh kiện na-nô bán dẫn đang thu hút sự quan tâm mạnhmẽ của giới khoa học do tính ứng dụng cao của nó [1], [2]. Nghiên cứu thực nghiệm cáclinh kiện na-nô nói chung là rất tốn kém, đòi hỏi phải sử dụng công nghệ cao và mấtnhiều thời gian. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết có thể giúp khắc phục được cáchạn chế nêu trên [3], đặc biệt phương pháp mô phỏng Monte – Carlo tập hợp tự hợp vớicác ưu điểm nổi trội là tính chính xác và tính ổn định.Trong quá trình mô phỏng, phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp cần cập nhậtphân bố của điện thế trong linh kiện thông qua việc giải phương trình Poisson, thôngthường bằng phương pháp sai phân hữu hạn [3]. Khi đó việc giải phương trình Poissonchuyển thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn với hàng triệuphương trình và hàng triệu ẩn. Thông thường để giải hệ phương trình trên người ta phảisử dụng các phương pháp số chạy trên một siêu máy tính với bộ nhớ cực lớn mà ViệtNam hiện nay chưa có. May mắn là các phương pháp không gian con Krylov có thể hỗtrợ cách tính toán không cần lưu trữ các số liệu tính toán trung gian [4], [5], [6]. Một sốtác giả đã sử dụng các phương pháp BICGSTAB, BICGSTAB tiền điều kiện,BICGSTAB2, BICGSTAB(3) và GPBICG để giải phương trình Poisson và đã thu đượccác kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắn nhiều lần [7], [8], [9], 10].Ngoài ra, việc giải phương trình Poisson trong linh kiện dẫn đến yêu cầu cần phải tíchhợp các điều kiện biên, ở đây là điều kiện biên Neumann và điều kiện biên Direclet, mộtcách phù hợp. Việc tích hợp điều kiện biên trong lời giải số là một trong những tháchthức mà chúng tôi gặp phải trong việc giải số phương trình Poisson. Trong nghiên cứunày chúng tôi khảo sát việc tích hợp điều kiện biên Neumann. Chúng tôi đã xây dựnghai chương trình giải phương trình Poisson tính đến và không tính đến điều kiện biênNeumann. Ảnh hưởng của điều kiện biên Direclet được tiến hành đồng thời bởi mộtnhóm nghiên cứu khác.Bài báo này được tổ chức như sau. Phần 2 trình bày việc giải phương trình Poisson bachiều và điều kiện biên Neumann. Phần 3 trình bày kết quả mô phỏng và thảo luận.Phần 4 trình bày một số kết luận.2. PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANNGiả sử vật liệu là đồng nhất thì phương trình Poisson trong trường hợp ba chiều có dạng ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ρ (1) 2 + 2 + 2 =− , ∂x ∂y ∂z εSKỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, tháng 12/2013, tr: 47-51 (3) (2)48 NGUYỄN VĂN ĐẲNG và cs.ở đây ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, ε S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện; x , y , z là ba biến không gian. Để có thể dễ dàng thực hiện sai phân hữu hạn ta chiamô hình linh kiện thành các ô lưới và giả sử khoảng cách giữa các nút lưới theo cácchiều không gian là bằng nhau, Δx = Δy = Δz . Tiến hành lấy sai phân hữu hạn phươngtrình (1) ta thu được hệ phương trình sau ρi , j , k 2ϕi −1, j ,k + ϕi , j −1,k + ϕi , j ,k −1 − 6ϕi , j ,k + ϕi +1, j ,k + ϕi , j +1,k + ϕi , j ,k +1 = − Δx , εSở đây i = 1, N x , j = 1, N y , k = 1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo cácchiều không gian Ox , Oy , Oz . Đây chính là hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớnmà ta cần giải.Điều kiện biên Neumann được mô tả bằng phương trình sau ∂ϕb r = g (ib , jb , kb ), ∂rvới chỉ số dưới b hàm ý rằng phương trình này xảy ra tại biên. Để tích hợp điều kiệnbiên này vào lời giải số của phương trình Poisson ta cần các lệnh gán phù hợp.3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬNĐể kiểm tra hiệu năng của chương trình giải phương trình Poisson ba chiều chúng tôitích hợp chương trình này vào chương trình mô phỏng bằng phương pháp M ...