Mô phỏng ba chiều linh kiện na-nô bán dẫn với lời giải phương trình Poisson dựa trên thuật toán GPBICG

Bài báo trình bày việc xây dựng chương trình giải phương trình Poisson ba chiều dựa trên thuật toán GPBICG để sử dụng trong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Chương trình mô phỏng được áp dụng để mô phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mô phỏng ba chiều linh kiện na-nô bán dẫn với lời giải phương trình Poisson dựa trên thuật toán GPBICG TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 65, 2011 MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN NA-NÔ BÁN DẪN VỚI LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON DỰA TRÊN THUẬT TOÁN GPBICG Đinh Như Thảo, Dương Thị Diễm My, Nguyễn Châu Phương Thi, Ngô Thanh Thủy Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TÓM TẮT Bài báo trình bày việc xây dựng chương trình giải phương trình Poisson ba chiều dựa trên thuật toán GPBICG để sử dụng trong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Chương trình mô phỏng được áp dụng để mô phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Các kết quả mô phỏng thu được hoàn toàn phù hợp với các kết quả của các công trình đã được công bố trước đây [1, 2]. Các kết quả chỉ ra rằng, chương trình giải phương trình Poisson dựa trên thuật toán GPBICG không những có tốc độ hội tụ nhanh mà còn có tính ổn định cao hơn các chương trình từng được sử dụng [2]. Từ khóa: Mô phỏng linh kiện bán dẫn, phương trình Poisson ba chiều, thuật toán GPBICG, phương pháp Monte – Carlo. 1. Giới thiệu Nghiên cứu và phát triển các linh kiện na-nô bán dẫn đang thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của giới khoa học do tính ứng dụng cao của nó [1, 2, 3]. Nghiên cứu thực nghiệm các linh kiện na-nô nói chung là rất tốn kém, đòi hỏi phải sử dụng công nghệ cao và mất nhiều thời gian. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết có thể giúp khắc phục được các hạn chế nêu ở trên, đặc biệt là các phương pháp mô phỏng như: phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp, phương pháp các phương trình cân bằng, mô hình kéo theo – khuếch tán [4]. Trong lớp các phương pháp đó, Monte – Carlo tập hợp tự hợp có nhiều ưu điểm nổi trội đặc biệt là tính chính xác và tính ổn định. Đây là phương pháp bán cổ điển với tốc độ tán xạ được tính toán dựa trên qui tắc vàng Fermi và việc khảo sát động lực học của hạt tải dựa trên các phương trình động học của Newton. Trong quá trình mô phỏng, phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp cần cập nhật phân bố của điện thế trong linh kiện ứng với một phân bố xác định của điện tích. Phân bố điện thế trong linh kiện có thể được xác định bằng việc giải phương trình Poisson, thông thường bằng phương pháp sai phân hữu hạn [4]. Khi đó việc giải phương trình Poisson chuyển thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính cực lớn với hàng 215 triệu phương trình và hàng triệu ẩn. Rõ ràng, việc giải hệ phương trình trên bằng một phương pháp giải tích là một việc bất khả thi và người ta phải sử dụng đến các phương pháp số. Đến nay nhiều phương pháp đã được xây dựng như: Jacobi, Gauss – Seidel, SOR, đa ô lưới (multigrid), iLU [5, 6]. Các phương pháp này có thể cho các kết quả chính xác tuy nhiên độ ổn định không cao và tốc độ hội tụ thấp. Gần đây, các phương pháp không gian con Krylov như CGS, BiCG, BICGSTAB, BICGSTAB2, BICGSTAB(l), GPBICG đã được phát triển và sử dụng như là các phương pháp hiệu quả trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính thưa loại lớn [5]. Một số tác giả đã sử dụng phương pháp BICGSTAB để giải phương trình Poisson và đã thu được các kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắn nhiều lần [2, 7]. Đó là động lực để chúng tôi tiến hành tìm nghiệm của phương trình Poisson bằng phương pháp GPBICG, phương pháp được đánh giá là hoạt động ổn định hơn và cho kết quả nhanh hơn phương pháp BICGSTAB [8]. 2. Giải phương trình Poisson ba chiều bằng thuật toán GPBICG Giả sử vật liệu là đồng nhất thì phương trình Poisson trong trường hợp ba chiều có dạng:  2  2  2   2  2  , 2 x y z S (1) ở đây,  là điện thế,  là mật độ điện tích,  S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện; x , y , z là ba biến không gian. Để có thể dễ dàng thực hiện sai phân hữu hạn ta chia mô hình linh kiện thành các ô lưới và giả sử khoảng cách giữa các nút lưới theo các chiều không gian là bằng nhau, x  y  z . Tiến hành lấy sai phân hữu hạn phương trình (1) ta thu được hệ phương trình sau: i 1, j ,k  i , j 1,k  i , j ,k 1  6i , j ,k  i 1, j ,k  i , j 1,k  i , j ,k 1   i , j ,k 2 x , (2) S ở đây, i  1, N x , j  1, N y , k  1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo các chiều không gian Ox , Oy , Oz . Hệ phương trình (2) có thể được viết lại dưới dạng một phương trình ma trận như sau: A  b, (3) trong đó, ma trận A có dạng:  b1    a2  A      c1  b2   c2  0  0  aNZ1  bNZ1   a NZ  216    ,  cNZ1  bNZ   (4) với  a j  và  c j  là các ma trận một đường chéo chính:     a j   c j        0   0     ,      (5) còn b j  là ma trận ba đường chéo chính: 1  2(1   )    1 2(1   ) 1   , b j         1 2(1   ) 1   1 2(1   )   0 (6) 0 trong đó   (x z )2  1 . Bảng 1. Thuật toán GPBICG để tìm nghiệm của phương trình Poisson Đây là một phương trình ma trận loại lớn và việc giải phương tr ...